Ex. 1.15 - Seja a proposição
. Para as seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define a proposição
com . Vamos traduzir cada fórmula com quantificadores para o português e depois determinar seu valor-verdade usando as regras de lógica de predicados:
com
- O quantificador
significa “para todo”. - O quantificador
significa “existe”.
Passo 2
(a) A fórmula
lê-se “para todo
em
existe um
em
tal que
”.
Para testar: dado qualquer , basta escolher
. Então
Para testar: dado qualquer
logo existe sempre um
(por exemplo
) que torna
verdadeira.
Portanto, (a) é Verdadeira.
Portanto, (a) é Verdadeira.
Passo 3
(b) A fórmula
lê-se “existe um
em
tal que, para todo
em
,
”.
Basta escolher . Para todo
temos
Basta escolher
então realmente existe um
(por exemplo
) que satisfaz
para todos os
.
Portanto, (b) é Verdadeira.
Portanto, (b) é Verdadeira.
Passo 4
(c) A fórmula
lê-se “para todo
em
e para todo
em
,
”.
Basta achar um contraexemplo: se e
, então
Basta achar um contraexemplo: se
Logo nem todos os pares satisfazem
.
Portanto, (c) é Falsa.
Portanto, (c) é Falsa.
Passo 5
(d) A fórmula
lê-se “existe um
em
e existe um
em
tal que
”.
Basta um exemplo, por exemplo e
:
Basta um exemplo, por exemplo
Logo existe ao menos um par
que satisfaz
.
Portanto, (d) é Verdadeira.
Portanto, (d) é Verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira