Ex. 1.15 - Seja a proposição p(x, y)=" x+4>y " com x, y in D=1,2,3,4,5,6. Para as seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade
a) forall x in D, exists y in D mid p(x, y)
b) exists y in D mid forall x in D, p(x, y)
c) forall x in D, forall y in D, p(x, y)
d) exists x in D, exists y in D mid p(x, y)

Passo 1

O enunciado define a proposição
p(x,y)colon x+4 > y
com x,yin D=1,2,3,4,5,6. Vamos traduzir cada fórmula com quantificadores para o português e depois determinar seu valor-verdade usando as regras de lógica de predicados:
  • O quantificador forall significa “para todo”.
  • O quantificador exists significa “existe”.

Passo 2

(a) A fórmula
forall xin D,;exists yin Dmid p(x,y)
lê-se “para todo x em D existe um y em D tal que x+4>y”.
Para testar: dado qualquer xin D, basta escolher y=1. Então
x+4 >= 1+4 = 5 > 1,
logo existe sempre um y (por exemplo y=1) que torna p(x,y) verdadeira.
Portanto, (a) é Verdadeira.

Passo 3

(b) A fórmula
exists yin Dmid forall xin D,;p(x,y)
lê-se “existe um y em D tal que, para todo x em D, x+4>y”.
Basta escolher y=1. Para todo xin D temos
x+4>= 1+4=5 > 1,
então realmente existe um y (por exemplo y=1) que satisfaz x+4>y para todos os x.
Portanto, (b) é Verdadeira.

Passo 4

(c) A fórmula
forall xin D,;forall yin D,;p(x,y)
lê-se “para todo x em D e para todo y em D, x+4>y”.
Basta achar um contraexemplo: se x=1 e y=6, então
1+4 =5 not> 6
Logo nem todos os pares satisfazem p(x,y).
Portanto, (c) é Falsa.

Passo 5

(d) A fórmula
exists xin D,;exists yin Dmid p(x,y)
lê-se “existe um x em D e existe um y em D tal que x+4>y”.
Basta um exemplo, por exemplo x=1 e y=1:
1+4 =5 > 1
Logo existe ao menos um par (x,y) que satisfaz p.
Portanto, (d) é Verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira

Exercícios de Livros Relacionados