Seja p(x)=2 x^{4}+x^{3}-3 x^{2}+x-4. Use o algoritmo de Briot-Ruffini e o Teorema do Resto para encontrar p(0), p(1), p(-3) e p(7).

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio
p(x)=2x^{4}+x^{3}-3x^{2}+x-4
e pede os valores de p(0), p(1), p(-3) e p(7). Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de p(x) por x-a é exatamente p(a). O algoritmo de Briot–Ruffini permite obter esse resto de forma rápida, sintetizando operações com os coeficientes.

Passo 2

Para a=0, dividimos p(x) por x-0=x. Tomamos os coeficientes 2,1,-3,1,-4 e aplicamos:
\begin{aligned} d_{0}&=2,\\\ d_{1}&=1 + d_{0}\cdot0 = 1,\\\ d_{2}&=-3 + d_{1}\cdot0 = -3,\\\ d_{3}&=1 + d_{2}\cdot0 = 1,\\\ d_{4}&=-4 + d_{3}\cdot0 = -4. \end{aligned}
O resto é d_{4}=-4, logo
p(0)=-4.

Passo 3

Para a=1, dividimos por x-1 usando os mesmos coeficientes:
\begin{aligned} e_{0}&=2,\\\ e_{1}&=1 + e_{0}\cdot1 = 3,\\\ e_{2}&=-3 + e_{1}\cdot1 = 0,\\\ e_{3}&=1 + e_{2}\cdot1 = 1,\\\ e_{4}&=-4 + e_{3}\cdot1 = -3. \end{aligned}
O resto é e_{4}=-3, portanto
p(1)=-3.

Passo 4

Para a=-3, dividimos por x+3 x-(-3):
\begin{aligned} f_{0}&=2,\\\ f_{1}&=1 + f_{0}\cdot(-3) = -5,\\\ f_{2}&=-3 + f_{1}\cdot(-3) = 12,\\\ f_{3}&=1 + f_{2}\cdot(-3) = -35,\\\ f_{4}&=-4 + f_{3}\cdot(-3) = 101. \end{aligned}
O resto é f_{4}=101, então
p(-3)=101.

Passo 5

Para a=7, dividimos por x-7:
\begin{aligned} g_{0}&=2,\\\ g_{1}&=1 + g_{0}\cdot7 = 15,\\\ g_{2}&=-3 + g_{1}\cdot7 = 102,\\\ g_{3}&=1 + g_{2}\cdot7 = 715,\\\ g_{4}&=-4 + g_{3}\cdot7 = 5001. \end{aligned}
O resto é g_{4}=5001, logo
p(7)=5001.

Resposta

p(0)=-4 p(1)=-3 p(-3)=101 p(7)=5001