Sejam A. B e C conjuntos finilos. Sace-se que n(A cap B cap C)=B, n(A, B)=15, n(A cap C)=20, n(B cap C)=24, n(C)=50, n(B)=60 e n(A cup B cup C)=129. Delemine:
a) n(A)
b) n(B-A)
c) n(C-A)
d) n(A-B)
e) n[(A cap B)-C]
f) n(A cup C)

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos finitos A, B e C com os seguintes dados (assumindo que houve um pequeno erro de digitação e que na primeira igualdade se quer n(Acap Bcap C)=8 e em “ n(A,B)=15” quer-se dizer n(Acap B)=15):
n(Acap Bcap C)&=8, n(Acap B)&=15, n(Acap C)&=20, n(Bcap C)&=24, n(B)&=60, n(C)&=50, n(Acup Bcup C)&=129
Para achar n(A) vamos usar o Teorema da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. Para as demais quantidades usaremos relações de diferença e a fórmula da união para dois conjuntos.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Inclusão-Exclusão:
n(Acup Bcup C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(Acap B)-n(Acap C)-n(Bcap C) + n(Acap Bcap C)
Substituindo os valores conhecidos:
129 = n(A) + 60 + 50 - 15 - 20 - 24 + 8
Calculando o lado direito: 60+50=110, 110-15-20-24=51, 51+8=59. Logo
129 = n(A) + 59 Longrightarrow n(A)=129-59=70

Passo 3

Usamos que, para quaisquer conjuntos X e Y,
n(X - Y) ;=; n(X) - n(Xcap Y)
Assim:
n(B - A) = n(B) - n(Acap B) = 60 - 15 = 45,
n(C - A) = n(C) - n(Acap C) = 50 - 20 = 30,
n(A - B) = n(A) - n(Acap B) = 70 - 15 = 55,
nl((Acap B) - Cr) = n(Acap B) - n(Acap Bcap C) = 15 - 8 = 7

Passo 4

Para n(Acup C) aplicamos a fórmula da união de dois conjuntos:
n(Acup C) = n(A) + n(C) - n(Acap C) = 70 + 50 - 20 = 100

Resposta

a) n(A)=70
b) n(B-A)=45
c) n(C-A)=30
d) n(A-B)=55
e) nl((Acap B)-Cr)=7
f) n(Acup C)=100

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