Sejam a e b inteiros. Mostre que
é um múltiplo de 7 se e somente se
também é.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é múltiplo de 7 se, e somente se,
também é múltiplo de 7. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e divisibilidade: lembrar que dizer “
divide
” é equivalente a escrever
Passo 2
Suponha que
seja múltiplo de 7. Então
Como
, isso dá
Passo 3
Para passar de
a algo envolvendo
, usamos o fato de que
, logo
tem inverso módulo 7, que é
(pois
). Multiplicando a congruência por
:
Como
, temos
ou seja,
é múltiplo de 7.
Passo 4
Reciprocamente, suponha que
seja múltiplo de 7, isto é
Então
logo
também é múltiplo de 7.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo
é múltiplo de 7 se, e somente se,
é múltiplo de 7.