Sejam a e b inteiros. Mostre que 10 a+b é um múltiplo de 7 se e somente se a-2 b também é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ,10a+b é múltiplo de 7 se, e somente se, a-2b também é múltiplo de 7. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e divisibilidade: lembrar que dizer “ 7 divide x” é equivalente a escrever
x equiv 0 pmod7

Passo 2

Suponha que 10a+b seja múltiplo de 7. Então
10a+b equiv 0 pmod7
Como 10 equiv 3pmod7, isso dá
3a + b equiv 0 pmod7

Passo 3

Para passar de 3a + b equiv 0 a algo envolvendo a-2b, usamos o fato de que gcd(3,7)=1, logo 3 tem inverso módulo 7, que é 5 (pois 3cdot5=15equiv1pmod7). Multiplicando a congruência por 5:
5(3a + b)equiv 0pmod7 Longrightarrow 15a +5bequiv 0pmod7 Longrightarrow a +5bequiv 0pmod7
Como 5equiv -2pmod7, temos
a - 2b equiv 0 pmod7,
ou seja, a-2b é múltiplo de 7.

Passo 4

Reciprocamente, suponha que a-2b seja múltiplo de 7, isto é
a - 2b equiv 0 pmod7 Longrightarrow a equiv 2b pmod7
Então
10a + b equiv 3a + b equiv 3cdot(2b) + b = 7b equiv 0 pmod7,
logo 10a+b também é múltiplo de 7.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo 10a+b é múltiplo de 7 se, e somente se, a-2b é múltiplo de 7.