Qual seria a definição informal ou intuitiva do limite
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L ?
Por que a definição seria “informal”? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede a definição informal ou intuitiva de
\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L,
ou seja, a ideia de “o que significa, de modo não-técnico, que f(x) tende a L quando x tende a x_{0}”. Vamos dar essa definição sem usar a formalidade dos critérios \varepsilon \delta.

Passo 2

Definição informal: dizemos que
\lim_{x \to x_{0}} f(x)=L
quando, sempre que x se aproxima de x_{0} (com x\neq x_{0}), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Em outras palavras, quanto menor for a distância entre x e x_{0}, mais próxima de L fica a imagem f(x).

Passo 3

Essa definição é chamada de “informal” porque não diz exatamente o quão perto tem de ser nem estabelece parâmetros quantitativos para “quão perto” (não usamos valores de \varepsilon nem \delta). Ela capta a intuição, mas não é suficientemente precisa para construir provas rigorosas.

Passo 4

Exemplo ilustrativo: seja f(x)=x^2 e x_{0}=2. Intuitivamente, à medida que x se aproxima de 2, temos
f(1{,}9)=3{,}61,\quad f(1{,}99)=3{,}9601,\quad f(2{,}01)=4{,}0401,
e assim por diante, mostrando que f(x) fica cada vez mais próximo de 4. Isso exemplifica a ideia de limite sem recorrer à definição formal de \varepsilon e \delta.

Resposta

Em termos informais, dizemos que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L
quando os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L à medida que x se aproxima de x_{0} (sem precisar usar rigorosamente parâmetros quantitativos).
Chamamos essa definição de “informal” porque ela não estabelece condições precisas—não usamos \varepsilon nem \delta—o que torna a ideia clara, porém insuficiente para demonstrações formais.
Por exemplo, em f(x)=x^2 com x_{0}=2, vemos que f(1{,}9)=3{,}61, f(1{,}99)=3{,}9601 e f(2{,}01)=4{,}0401, ilustrando que f(x) se aproxima de 4.