Supondo que f(x)=1 /(1-x), obtenha uma representação em série de potências para h(x)=x f^{\prime}(x)+x^{2} f^{\prime \prime}(x) e determine seu raio de convergência. Use esse resultado para mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=6

Passo 1

O enunciado pede para representar
h(x)=x\,f'(x)+x^{2}\,f''(x)
onde f(x)=\tfrac{1}{1-x}, em série de potências e determinar o raio de convergência dessa série. Em seguida, devemos usar esse resultado para calcular
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}.
O conteúdo envolve expansão de séries geométricas, diferenciação termo a termo e propriedades de séries de potências.

Passo 2

Começamos pela expansão básica da série geométrica para \lvert x\rvert<1:
f(x)=\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Diferenciando termo a termo obtemos
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}, \quad f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,x^{n-2}.
Multiplicando pelas potências de x que aparecem em h(x), temos
x\,f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}, \quad x^{2}\,f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,x^{n}.

Passo 3

Somando os dois resultados para formar h(x), obtemos
h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n} \;+\;\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,x^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[n + n(n-1)\bigr]x^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\,x^{n}.

Passo 4

O raio de convergência de \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} é R=1. Diferenciação termo a termo e multiplicação por x não alteram o raio de convergência, logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\,x^{n}
também converge para \lvert x\rvert<1 e diverge para \lvert x\rvert>1, isto é, R=1.

Passo 5

Para ter uma expressão fechada de h(x), usamos as derivadas conhecidas de f:
f'(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}, \quad f''(x)=\frac{2}{(1-x)^{3}}.
Logo
h(x) = x\,\frac{1}{(1-x)^{2}} \;+\; x^{2}\,\frac{2}{(1-x)^{3}} =\frac{x(1-x)+2x^{2}}{(1-x)^{3}} =\frac{x+x^{2}}{(1-x)^{3}} =\frac{x\,(1+x)}{(1-x)^{3}}.
Pelo teorema da identidade de séries de potências, temos então
\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\,x^{n} =\frac{x\,(1+x)}{(1-x)^{3}}.

Passo 6

Para mostrar que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=6, basta avaliar em x=\tfrac12, que está dentro do raio de convergência:
\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac12\bigl(1+\tfrac12\bigr)}{\bigl(1-\tfrac12\bigr)^{3}} =\frac{\tfrac12\cdot\tfrac32}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{8}} =6.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=6.