Supondo que
, obtenha uma representação em série de potências para
e determine seu raio de convergência. Use esse resultado para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para representar
onde
, em série de potências e determinar o raio de convergência dessa série. Em seguida, devemos usar esse resultado para calcular
O conteúdo envolve expansão de séries geométricas, diferenciação termo a termo e propriedades de séries de potências.
Passo 2
Começamos pela expansão básica da série geométrica para
:
Diferenciando termo a termo obtemos
Multiplicando pelas potências de
que aparecem em
, temos
Passo 3
Somando os dois resultados para formar
, obtemos
Passo 4
O raio de convergência de
é
. Diferenciação termo a termo e multiplicação por
não alteram o raio de convergência, logo a série
também converge para
e diverge para
, isto é,
.
Passo 5
Para ter uma expressão fechada de
, usamos as derivadas conhecidas de
:
Logo
Pelo teorema da identidade de séries de potências, temos então
Passo 6
Para mostrar que
, basta avaliar em
, que está dentro do raio de convergência: