Suponha que a função f(x) seja não negativa e contínua para x \geq 0. Suponha também que, para cada número positivo b, gi-rando-se a região compreendida pelo gráfico de f, o eixo de
coordenadas e a reta x=b em torno do eixo y gere um sólido de volume 2 \pi b^{3}. Determine f(x).

Passo 1

O enunciado diz que f(x) é não negativa e contínua para x\ge0 e que, ao girar a região limitada por y=f(x), o eixo x e a reta x=b em torno do eixo y, obtém-se um sólido de volume 2\pi b^3.
Conteúdo principal: cálculo de volume por cascas cilíndricas.

Passo 2

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ao girar a região de x=0 até x=b é dado por
V(b)=2\pi\int_{0}^{b}x\,f(x)\,dx

Passo 3

Como o enunciado afirma que esse volume vale 2\pi b^3, temos
2\pi\int_{0}^{b}x\,f(x)\,dx = 2\pi b^3
e, cancelando 2\pi,
\int_{0}^{b}x\,f(x)\,dx = b^3.

Passo 4

Para achar f, diferenciamos em relação a b. Pela regra de Leibniz,
\frac{d}{db}\int_{0}^{b}x\,f(x)\,dx = b\,f(b),
e do outro lado
\frac{d}{db}\bigl(b^3\bigr) = 3b^2.
Logo
b\,f(b) = 3b^2.

Passo 5

Para b>0 segue f(b)=3b. Como f é contínua em 0 e não negativa, concluímos
f(x)=3x,\quad x\ge0.

Resposta

f(x)=3x.