37 Suponha que
(a) Esboce o gráfico de
mostra que
não é uma função bijetora.
(c) Dê um exemplo explícito de dois números distintos
e
tais que
.
(c) Dê um exemplo explícito de dois números distintos
Passo 1
O enunciado define a função
O conteúdo envolve gráficos de funções lineares por partes e o teste de bijetividade (injeção e sobrejeção). Vamos (i) esboçar o gráfico, (ii) usar o teste da reta horizontal para ver que não é bijetora, e (iii) dar dois
.
Passo 2
No trecho
,
é a reta de coeficiente angular
passando por
e tendendo a
, mas com ponto em
aberto.
No trecho ,
é a reta de coeficiente angular
unindo o ponto
(agora fechado) ao ponto
.
Juntando, o gráfico é um segmento ascendente suave que em vale
, decresce linearmente até
(com abertura para a esquerda) e em
retoma como outro segmento ascendente até
.
No trecho
Juntando, o gráfico é um segmento ascendente suave que em
Passo 3
O teste da reta horizontal diz que, se alguma reta horizontal intercepta o gráfico em mais de um ponto,
não é injetora e, portanto, não é bijetora. Por exemplo, a reta
cruza a parte esquerda e a parte direita do gráfico, mostrando duas abscissas com mesma imagem.
Passo 4
Para ser explícito, escolha
Então
com
e
.
Resposta
(a) Gráfico: segmento de
até
(aberto em
), e segmento de
até
.
(b) Não é bijetora pois falha o teste da reta horizontal (não é injetora).
(c) Por exemplo, e
dão
.
(b) Não é bijetora pois falha o teste da reta horizontal (não é injetora).
(c) Por exemplo,