37 Suponha que f\) seja a função cujo domínio é o intervalo \([-2,2]\), com \(f\) definida pela seguinte fórmula: \[f(x)= \begin{cases}-\frac{x}{3} & \text { se }-2 \leq x<0 \\\\ 2 x & \text { se } 0 \leq x \leq 2 .\end{cases}
(a) Esboce o gráfico de f\]. (b) Explique por que o gráfico de \(f mostra que f não é uma função bijetora.
(c) Dê um exemplo explícito de dois números distintos a e b tais que f(a)=f(b).

Passo 1

O enunciado define a função f\colon[-2,2]\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} -\frac{x}{3},&-2\le x<0,\\\\ 2x,&0\le x\le2. \end{cases}
O conteúdo envolve gráficos de funções lineares por partes e o teste de bijetividade (injeção e sobrejeção). Vamos (i) esboçar o gráfico, (ii) usar o teste da reta horizontal para ver que não é bijetora, e (iii) dar dois a\ne b\] com \(f(a)=f(b).

Passo 2

No trecho -2\le x<0, f(x)=-\tfrac{x}{3} é a reta de coeficiente angular \tfrac13 passando por (-2,\tfrac23) e tendendo a (0,0), mas com ponto em x=0 aberto.
No trecho 0\le x\le2, f(x)=2x é a reta de coeficiente angular 2 unindo o ponto (0,0) (agora fechado) ao ponto (2,4).
Juntando, o gráfico é um segmento ascendente suave que em -2 vale 2/3, decresce linearmente até 0 (com abertura para a esquerda) e em (0,0) retoma como outro segmento ascendente até (2,4).

Passo 3

O teste da reta horizontal diz que, se alguma reta horizontal intercepta o gráfico em mais de um ponto, f não é injetora e, portanto, não é bijetora. Por exemplo, a reta y=\tfrac12 cruza a parte esquerda e a parte direita do gráfico, mostrando duas abscissas com mesma imagem.

Passo 4

Para ser explícito, escolha
a=-\tfrac32,\quad b=\tfrac14.
Então
f(a)=-\frac{(-\tfrac32)}{3}=\frac12, \qquad f(b)=2\cdot\tfrac14=\frac12,
com a\ne b e f(a)=f(b).

Resposta

(a) Gráfico: segmento de (-2,\tfrac23) até (0,0) (aberto em 0), e segmento de (0,0) até (2,4).
(b) Não é bijetora pois falha o teste da reta horizontal (não é injetora).
(c) Por exemplo, a=-\tfrac32 e b=\tfrac14 dão f(a)=f(b)=\tfrac12.