53 Suponha que m seja um número real. Determine os pontos nos quais a reta que passa pela origem com inclinação m intercepta a circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de interseção entre a circunferência unitária e a reta que passa pela origem com inclinação m. O conteúdo envolvido é geometria analítica: vamos usar a equação da circunferência e a equação da reta e resolver o sistema para (x,y).

Passo 2

A reta de inclinação m que passa pela origem é dada por
y = m\,x.

Passo 3

A circunferência unitária tem equação
x^2 + y^2 = 1.
Para achar a interseção, substituímos y = m\,x na equação da circunferência:
x^2 + (m\,x)^2 = 1
ou seja
(1 + m^2)\,x^2 = 1.
Dessa forma
x^2 = \frac{1}{1 + m^2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}.

Passo 4

Para cada escolha de sinal em x, calculamos
y = m\,x = m \,\Bigl(\pm \tfrac{1}{\sqrt{1 + m^2}}\Bigr) = \pm \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}}.
Portanto, os dois pontos de interseção (com o mesmo sinal para x e y) são aqueles em que a reta “entra” e “sai” da circunferência.

Resposta

\displaystyle\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},\,\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\Bigr)
\displaystyle\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},\,-\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\Bigr)