T15. Um Modelo Logístico Transladado A tabela fornece a população de Trinidad e Tobago, P, em milhares de habitantes, em meados de cada ano, de 1970 a 2015 .
Ano
População
(milhares)
Ano
População
(milhares)
1970 955 1995 1.264
1975 1.007 2000 1.252
1980 1.091 2005 1.237
1985 1.189 2010 1.227
1990 1.255 2015 1.222
Fonte: US Census Bureau/International Programs/International Data Base. Revisado em 18 de setembro de 2018.
(a) Crie um gráfico de dispersão a partir desses dados. Associe t=0 ao ano de 1970.
(b) O gráfico de dispersão sugere que um modelo logístico pode ser apropriado nesse caso, desde que movamos os pontos para baixo (de modo que os valores iniciais de P fiquem mais próximos de 0). Sendo assim, subtraia 900 de cada valor de P e, então, use uma calculadora ou um computador para obter um modelo logístico para os dados transladados.
(c) Some 900 ao modelo obtido no item (b) para obter um modelo logístico transladado para os dados originais. Trace o gráfico do modelo juntamente com os pontos do item (a) e discuta a precisão do modelo.
(d) Supondo que o modelo seja preciso, qual é o seu prognóstico para a população futura de Trinidad e Tobago?

Passo 1

O enunciado fornece a população de Trinidad e Tobago de 1970 a 2015 em milhares de habitantes e pede:
– (a) gráfico de dispersão com t=0 em 1970;
– (b) subtrair 900 de cada P e ajustar um modelo logístico aos dados transladados;
– (c) somar 900 ao modelo e traçá-lo junto aos pontos originais, discutindo a precisão;
– (d) usar o modelo para prever a população futura.
Vamos usar o modelo logístico da forma
Y(t)=\frac{L}{1+A\,e^{-k t}}
e depois reverter a translação Y=P-900.

Passo 2

Montamos o gráfico de dispersão dos pares (t,P), onde t é o número de anos após 1970: t=0,P=955; t=5,P=1007; t=10,P=1091; t=15,P=1189; t=20,P=1255; t=25,P=1264; t=30,P=1252; t=35,P=1237; t=40,P=1227; t=45,P=1222.

Passo 3

Definimos os valores transladados Y=P-900: t=0,Y=55; t=5,Y=107; t=10,Y=191; t=15,Y=289; t=20,Y=355; t=25,Y=364; t=30,Y=352; t=35,Y=337; t=40,Y=327; t=45,Y=322.
Sobre esses dados ajustaremos
Y(t)=\frac{L}{1+A\,e^{-k t}}.

Passo 4

Para encontrar L, A e k podemos usar regressão não linear em calculadora/computador ou linearizar pela transformação
\ln\!\Bigl(\frac{L}{Y}-1\Bigr)=\ln A - k\,t.
Escolhendo L próximo de \max Y\approx364 e aplicando regressão linear em \ln\bigl(\tfrac{L}{Y_i}-1\bigr) vs.\ t_i, obtemos os parâmetros.

Passo 5

O ajuste numérico direto fornece, por exemplo,
L\approx364.1,\quad A\approx5.665,\quad k\approx0.268.
Logo o modelo para os dados transladados é
Y(t)=\frac{364.1}{1+5.665\,e^{-0.268\,t}}.

Passo 6

Somando 900 para voltar aos valores originais, o modelo logístico transladado fica
P(t)=900+\frac{364.1}{1+5.665\,e^{-0.268\,t}},
com t em anos desde 1970. Traçando esse modelo junto aos pontos do Passo 2, vemos bom ajuste de 1970 a 1990, mas depois o modelo prediz estabilização em torno de 1{,}264 mil, enquanto os dados reais caem ligeiramente para 1{,}222 mil em 2015. Ainda assim, serve como primeira aproximação logística.

Passo 7

Para o futuro o prognóstico é
\lim_{t\to\infty}P(t)=900+364.1\approx1264.1
(ou seja, cerca de 1{,}264 mil habitantes). Por exemplo, em 2030 t=60 o modelo dá
P(60)\approx900+\frac{364.1}{1+5.665\,e^{-0.268\cdot60}}\approx1264\\ (\text{mil}).

Resposta

O modelo logístico transladado é
P(t)=900+\frac{364.1}{1+5.665\,e^{-0.268\,t}},
com t em anos após 1970, e prevê que a população futura tenderá a cerca de 1{,}264 mil habitantes.