Num triângulo ABC , sabe-se que:
(1) A pertence ao eixo das abscissas;
(2) B pertence à bissetriz b13;
(3) a equação da reta A C é x+y-4=0;
(4) a equação da reta B C é 2 x-3 y+7=0.
Calcule o perímetro do triângulo ABC .

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC no plano cartesiano. Precisamos usar:
  • O fato de A estar no eixo das abscissas ( y=0).
  • O fato de B estar na bissetriz dos quadrantes I e III, isto é, na reta y=x.
  • As equações das retas ACcolon x+y-4=0 e BCcolon 2x-3y+7=0.
    Depois, encontraremos as coordenadas de A, B e C e calcularemos as distâncias dos lados para obter o perímetro.

Passo 2

Determinar A como interseção de y=0 com x+y-4=0. Substituindo y=0 na equação de AC,
x+0-4=0
logo x=4.
Portanto,
A = (4,0)

Passo 3

Determinar B como interseção de y=x com 2x-3y+7=0. Substituindo y=x em BC,
2x-3x+7=0implies -x+7=0implies x=7,
e então y=7.
Logo
B = (7,7)

Passo 4

Determinar
Da primeira, .
Assim

Passo 5

Calcular as três distâncias:
AB = raiz(7-4)^2 + (7-0)^2 = raiz9+49 = raiz58,
BC = raiz(1-7)^2 + (3-7)^2 = raiz36+16 = raiz52 = 2raiz13,
AC = raiz(1-4)^2 + (3-0)^2 = raiz9+9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 6

O perímetro P é a soma AB + BC + AC, logo
P = raiz58 ;+; 2raiz13 ;+; 3raiz2

Resposta

P = raiz58 + 2raiz13 + 3raiz2