Um triângulo de base b e altura h tem ângulos agudos na base. Um retângulo está inscrito no triângulo com um lado sobre a base do triângulo. Mostre que o maior retângulo nessas condições tem base b / 2 e altura h / 2, de sorte que sua área é a metade da área do triângulo.

Passo 1

O enunciado considera um triângulo de base b e altura h e pede para inscrever um retângulo cujo lado maior fique sobre a base do triângulo. Nosso objetivo é determinar, entre todos esses retângulos, aquele de maior área, usando semelhança de triângulos e cálculo de máxima.

Passo 2

Colocamos o triângulo com a base BC de comprimento b no eixo x e o vértice A acima da base, a uma altura h. Se o retângulo inscrito tem altura y e base w, por semelhança entre o triângulo original e o triângulo acima do retângulo a largura disponível a essa altura é
bl(1-yhr)
Para que o retângulo caiba nessa faixa, deve valer
w <= bl(1-yhr)

Passo 3

Para maximizar a área, usamos toda a largura disponível, ou seja,
w = bl(1-yhr)
A área do retângulo em função de y é
A(y)=w,y
Substituindo w na expressão anterior,
A(y)=b,y-bh,y^2

Passo 4

Derivando A(y) e igualando a zero para achar o máximo:
A'(y)=ddyl(b,y-bh,y^2r)=b-2bh,y=0
Logo
y=h2
Substituindo em w=bl(1-tfracyhr), obtemos
w=bl(1-12r)=b2

Passo 5

O valor máximo da área é
Amax=b2cdoth2=b,h4
que é exatamente metade da área do triângulo, que vale tfracb,h2.

Resposta

A base do retângulo de área máxima é tfracb2, sua altura é tfrach2 e sua área vale tfracb,h4, ou seja, metade da área do triângulo.