Um triângulo de base
e altura
tem ângulos agudos na base. Um retângulo está inscrito no triângulo com um lado sobre a base do triângulo. Mostre que o maior retângulo nessas condições tem base
e altura
, de sorte que sua área é a metade da área do triângulo.
Passo 1
O enunciado considera um triângulo de base
e altura
e pede para inscrever um retângulo cujo lado maior fique sobre a base do triângulo. Nosso objetivo é determinar, entre todos esses retângulos, aquele de maior área, usando semelhança de triângulos e cálculo de máxima.
Passo 2
Colocamos o triângulo com a base
de comprimento
no eixo
e o vértice
acima da base, a uma altura
. Se o retângulo inscrito tem altura
e base
, por semelhança entre o triângulo original e o triângulo acima do retângulo a largura disponível a essa altura é
Para que o retângulo caiba nessa faixa, deve valer
Passo 3
Para maximizar a área, usamos toda a largura disponível, ou seja,
A área do retângulo em função de
é
Substituindo
na expressão anterior,
Passo 4
Derivando
e igualando a zero para achar o máximo:
Logo
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
O valor máximo da área é
que é exatamente metade da área do triângulo, que vale
.
Resposta
A base do retângulo de área máxima é
, sua altura é
e sua área vale
, ou seja, metade da área do triângulo.