Um triângulo A B C, retângulo em B, e um paralelogramo B C D E estão situados em planos distintos. Prove que as retas over<=ftrightarrowA B e over<=ftrightarrowD E são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC retângulo em B (logo ABperp BC) e um paralelogramo BCDE num plano distinto, e pede para provar que as retas over<=ftrightarrowAB e over<=ftrightarrowDE são ortogonais. Vamos usar noções de geometria espacial: planos que se cortam numa reta e retas perpendiculares à reta de interseção.

Passo 2

Denotemos por alpha o plano que contém o triângulo ABC e por beta o plano que contém o paralelogramo BCDE. Esses dois planos intersectam-se exatamente na reta
alphacapbeta=over<=ftrightarrowBC

Passo 3

Do triângulo retângulo em B segue diretamente que
ABperp BC

Passo 4

Um fato clássico de geometria no espaço é:
se uma reta m pertence a um plano alpha e é perpendicular à reta de interseção alphacapbeta, então m é perpendicular ao plano beta. Aplicando aqui, como ABsubsetalpha e ABperp(alphacapbeta), concluímos
ABperpbeta

Passo 5

Como over<=ftrightarrowDE está contida em beta (é um lado do paralelogramo), e já temos ABperpbeta, segue que
ABperp DE

Resposta

As retas over<=ftrightarrowA B e over<=ftrightarrowD E são ortogonais.