(UECE-18) Se o produto das matrizes
M=\left[\begin{array}{ll}1 & p \\\ q & 1\end{array}\right] e K=\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right] satisfaz a
condição M.K = K.M, então, a expressão p q-x y é igual a

Passo 1

O enunciado dá
M = \displaystyle\begin{pmatrix}1&p\q&1\end{pmatrix}
K = \displaystyle\begin{pmatrix}x&1\\\ 1&y\end{pmatrix}
e pede o valor de \,pq - xy quando MK = KM. Vamos usar a definição de produto de matrizes e igualar termo a termo.

Passo 2

Calculemos
MK \;=\;\begin{pmatrix}1&p\q&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&1\\\ 1&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+p&1+p\,y\q\,x+1&q+ y\end{pmatrix}
KM \;=\;\begin{pmatrix}x&1\\\ 1&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&p\q&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+q&x\,p+1\\\ 1+q\,y&p+y\end{pmatrix}.

Passo 3

Impondo MK=KM obtemos as igualdades de cada entrada:
1. x+p = x+q\quad \Rightarrow\quad p=q. 2. 1+p\,y = x\,p+1\quad \Rightarrow\quad p(y-x)=0. 3. q\,x+1 = 1+q\,y\quad \Rightarrow\quad q(x-y)=0 (é equivalente à anterior, dado p=q).
4. q + y = p + y\quad \Rightarrow\quad q=p (já veio da primeira).
Logo as condições de comutação são
p=q \quad\text{e}\quad p\,(y-x)=0.

Passo 4

Queremos \,pq - xy. Como q=p,
pq - xy = p^2 - xy.
Além disso, p(y-x)=0 dá duas possibilidades:
  • Se p=0, então pq=0 e pq - xy = -\,xy.
  • Se y=x, então pq - xy = p^2 - x^2 = (p-x)(p+x).

Resposta

Não existe um valor único para pq - xy; a condição MK=KM impõe
p=q\quad\text{e}\quad p(y-x)=0,
de modo que
pq-xy = p^2 - xy
assume -xy se p=0, ou (p-x)(p+x) se y=x.