(UECE-14) Sendo os números \sqrt{7}, \sqrt[3]{7}, \sqrt[6]{7} termos consecutivos de uma progressão geométrica, o termo seguinte desta progressão é
a) 1
b) \sqrt[7]{7}
c) \sqrt[9]{7}
d) \sqrt[12]{7}

Passo 1

O enunciado diz que os termos consecutivos de uma PG são \sqrt{7}=7^{1/2}, \sqrt[3]{7}=7^{1/3} e \sqrt[6]{7}=7^{1/6}. O que precisamos usar é a definição de progressão geométrica (razão constante) e as regras de potência para achar a razão comum e, em seguida, o termo seguinte.

Passo 2

Calculamos a razão comum q dividindo o segundo termo pelo primeiro e confirmamos que é a mesma divisão do terceiro pelo segundo:
q = \frac{7^{1/3}}{7^{1/2}} = 7^{1/3 - 1/2} = 7^{-1/6}.
Verificando também
\frac{7^{1/6}}{7^{1/3}} = 7^{1/6 - 1/3} = 7^{-1/6} = q,
logo a sequência é de fato uma PG com q = 7^{-1/6}.

Passo 3

O quarto termo a_{4} é o produto do terceiro termo pela razão:
a_{4} = 7^{1/6}\,\cdot\,7^{-1/6} = 7^{1/6 - 1/6} = 7^{0} = 1.

Resposta

1