(Unicamp-2000) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, năo necessariamente regular, formam um ângulo agudo \alpha.
a) Mostre que a área desse quadrilátero é \frac{\mathrm{D} \cdot \mathrm{d}}{2} \operatorname{sen} \alpha.
b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual \mathrm{D}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}=6 \mathrm{~cm} e \alpha=30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado trata de um quadrilátero convexo cujas diagonais AC e BD medem D e d, respectivamente, e se cruzam formando um ângulo agudo \alpha. Queremos (a) mostrar que
\text{área} = \frac{D\,d}{2}\,\sin\alphaá
e (b) calcular numericamente essa área quando D=8,cm, d=6,cm e \alpha=30^\circ.

Passo 2

Seja O o ponto de interseção de AC com BD. Então AC fica dividida em AO e OC, e BD em BO e OD. Assim
AO + OC = D \quad\text{e}\quad BO + OD = d.

Passo 3

O quadrilátero pode ser particionado em quatro triângulos: AOB, BOC, COD e DOA. Cada um tem dois lados formados por segmentos de diagonais e inclui o ângulo entre elas, que é \alpha ou 180^\circ-\alpha. Como
\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, a área de cada triângulo é sempre
\frac12\,( \text{produto dos dois segmentos} )\;\sin\alpha.

Passo 4

Somando as quatro áreas, obtemos
\text{Área total} =\frac12\,\sin\alpha\bigl( AO\cdot BO + BO\cdot CO + CO\cdot OD + OD\cdot AO \bigr).Á

Passo 5

Repare que
(AO+CO)\,(BO+OD) =AO\cdot BO + BO\cdot CO + CO\cdot OD + OD\cdot AO.
Logo, usando AO+CO=D e BO+OD=d, concluímos
\text{área} =\frac12\,\sin\alpha\,(D\,d) =\frac{D\,d}{2}\,\sin\alpha.á

Passo 6

Para D=8,cm, d=6,cm e \alpha=30^\circ, temos
\text{área} =\frac{8\cdot6}{2}\,\sin30^\circ =24\cdot\frac12 =12\quad\text{cm}^2.á

Resposta

\displaystyle \text{área}=\frac{D\,d}{2}\sin\alphaá e, no caso dado, \text{área}=12á,cm ^2.