(Unicamp-2000) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, năo necessariamente regular, formam um ângulo agudo
.
a) Mostre que a área desse quadrilátero é
.
b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual
e
.
a) Mostre que a área desse quadrilátero é
b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual
Passo 1
O enunciado trata de um quadrilátero convexo cujas diagonais
e
medem
e
, respectivamente, e se cruzam formando um ângulo agudo
. Queremos (a) mostrar que
e (b) calcular numericamente essa área quando
,cm,
,cm e
.
Passo 2
Seja
o ponto de interseção de
com
. Então
fica dividida em
e
, e
em
e
. Assim
Passo 3
O quadrilátero pode ser particionado em quatro triângulos:
,
,
e
. Cada um tem dois lados formados por segmentos de diagonais e inclui o ângulo entre elas, que é
ou
. Como
, a área de cada triângulo é sempre
Passo 4
Somando as quatro áreas, obtemos
Passo 5
Repare que
Logo, usando
e
, concluímos
Passo 6
Para
,cm,
,cm e
, temos