(Unicamp-2001) Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio
e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm . Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.
a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.
b) Calcule o comprimento da curva C.
a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.
b) Calcule o comprimento da curva C.
Passo 1
O enunciado diz que temos três circunferências de raio
,cm cujos centros são os vértices de um triângulo equilátero de lado
,cm.
(a) Queremos a área da parte do triângulo que fica fora das três circunferências.
(b) Queremos o comprimento da curva fechada mínima que tangencia externamente as três circunferências.
(a) Queremos a área da parte do triângulo que fica fora das três circunferências.
(b) Queremos o comprimento da curva fechada mínima que tangencia externamente as três circunferências.
Passo 2
Calculamos primeiro a área do triângulo equilátero de lado
,cm. A fórmula é
Logo,
Passo 3
Dentro do triângulo cada circunferência “invade” com um setor de ângulo igual ao ângulo interno do triângulo, que é
. A área de um setor de ângulo
num círculo de raio
é
.
Aqui temos três setores de cada, então a área total ocupada pelas circunferências dentro do triângulo é
Aqui temos três setores de
Passo 4
A área da parte do triângulo que está fora das três circunferências é
Passo 5
Para (b), a curva de comprimento mínimo que envolve e tangencia externamente as três circunferências é o contorno do envoltório convexo dos três discos. Pela propriedade do “offset” de um polígono por um disco de raio
, o comprimento dessa curva é
Passo 6
O perímetro do triângulo de lado
é
,cm e
,cm, logo
Resposta
(a)
cm
(b) cm
(b)