(Unicamp-2001) Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r=2 \mathrm{~cm} e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm . Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.
a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.
b) Calcule o comprimento da curva C.

Passo 1

O enunciado diz que temos três circunferências de raio r=2,cm cujos centros são os vértices de um triângulo equilátero de lado 6,cm.
(a) Queremos a área da parte do triângulo que fica fora das três circunferências.
(b) Queremos o comprimento da curva fechada mínima que tangencia externamente as três circunferências.

Passo 2

Calculamos primeiro a área do triângulo equilátero de lado a=6,cm. A fórmula é
\text{Área}_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}Á
Logo,
\text{Área}_{\triangle} =\frac{6^2\sqrt{3}}{4} =\frac{36\sqrt{3}}{4} =9\sqrt{3}\\ (\text{cm}^2).Á

Passo 3

Dentro do triângulo cada circunferência “invade” com um setor de ângulo igual ao ângulo interno do triângulo, que é 60^\circ. A área de um setor de ângulo \theta num círculo de raio r é \tfrac{\theta}{360^\circ}\pi r^2.
Aqui temos três setores de 60^\circ cada, então a área total ocupada pelas circunferências dentro do triângulo é
3\;\times\;\frac{60^\circ}{360^\circ}\,\pi\,r^2 =3\;\times\;\frac{1}{6}\,\pi\,(2)^2 =3\;\times\;\frac{4\pi}{6} =2\pi\\ (\text{cm}^2).

Passo 4

A área da parte do triângulo que está fora das três circunferências é
\text{Área}_{\text{fora}} =\text{Área}_{\triangle}-\text{Área}_{\text{setores}} =9\sqrt{3}-2\pi\\ (\text{cm}^2).ÁÁÁ

Passo 5

Para (b), a curva de comprimento mínimo que envolve e tangencia externamente as três circunferências é o contorno do envoltório convexo dos três discos. Pela propriedade do “offset” de um polígono por um disco de raio r, o comprimento dessa curva é
\text{Perímetro do triângulo} +2\pi\,r.íâ

Passo 6

O perímetro do triângulo de lado 6 é 3\times 6=18,cm e r=2,cm, logo
\text{Comprimento de }C =18+2\pi\cdot 2 =18+4\pi\\ (\text{cm}).

Resposta

(a) 9\sqrt{3}-2\pi cm ^2
(b) 18+4\pi cm