(Unicamp-98) Considere uma progressão geométrica de termos nãonulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.
a) Calcule os dois valores possiveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro cermo seja
e
, calcule a soma dos três primeiros lermos dessa proyressão.
a) Calcule os dois valores possiveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro cermo seja
Passo 1
O enunciado trata de uma progressão geométrica cujos termos são não nulos e satisfazem a condição de que, a partir do terceiro termo, cada termo é a soma dos dois anteriores. O conteúdo da matéria envolve definição de PG (razão constante) e recorrência linear de segunda ordem. Para resolver, vamos traduzir essa condição em uma equação para a razão
e, em seguida, usar os valores obtidos para calcular a soma dos três primeiros termos no caso
.
Passo 2
Seja
o primeiro termo e
a razão da PG. Então
Pela condição do enunciado,
. Substituindo:
Como
, pode-se dividir por
, obtendo a relação
Passo 3
A equação característica é
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos
Passo 4
Para a parte (b), escolhemos o valor positivo
O primeiro termo é dado por
logo
Passo 5
Queremos a soma
Como
, segue
Portanto
Calculando dentro do parêntese:
então
Resposta
a)
b)
b)