(Unicamp-98) Considere uma progressão geométrica de termos nãonulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.
a) Calcule os dois valores possiveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro cermo seja \frac{1-\sqrt{5}}{2} e q>0, calcule a soma dos três primeiros lermos dessa proyressão.

Passo 1

O enunciado trata de uma progressão geométrica cujos termos são não nulos e satisfazem a condição de que, a partir do terceiro termo, cada termo é a soma dos dois anteriores. O conteúdo da matéria envolve definição de PG (razão constante) e recorrência linear de segunda ordem. Para resolver, vamos traduzir essa condição em uma equação para a razão q e, em seguida, usar os valores obtidos para calcular a soma dos três primeiros termos no caso q>0.

Passo 2

Seja a_1 o primeiro termo e q a razão da PG. Então
a_2 = a_1 q,
a_3 = a_1 q^2.
Pela condição do enunciado, a_3 = a_2 + a_1. Substituindo:
a_1 q^2 = a_1 q + a_1.
Como a_1\neq0, pode-se dividir por a_1, obtendo a relação
q^2 = q + 1.

Passo 3

A equação característica é
q^2 - q - 1 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos
q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Para a parte (b), escolhemos o valor positivo
q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
O primeiro termo é dado por
a_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2},
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a_2 = a_1 q,
a_3 = a_1 q^2.

Passo 5

Queremos a soma
S = a_1 + a_2 + a_3 = a_1\bigl(1 + q + q^2\bigr).
Como q^2 = q + 1, segue
1 + q + q^2 = 1 + q + (q + 1) = 2 + 2q = 2\,(1 + q).
Portanto
S = a_1 \cdot 2\,(1 + q) = 2\,\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\,\biggl(1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\biggr).
Calculando dentro do parêntese:
1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2},
então
S = (1 - \sqrt{5})\;\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(1 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{5}}{2} = -1 - \sqrt{5}.

Resposta

a) \displaystyle q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
b) \displaystyle -1 - \sqrt{5}.