(Unicamp-98) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.
a) Faça uma figura e justifique a afirmação acima.
b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72 \mathrm{~cm}^{2}, calcule o comprimento do lado do quadrado maior.

Passo 1

Temos um quadrado de vértices A,B,C,D e marcamos em cada lado o ponto médio, formando o quadrilátero interno. A matéria envolvida é a geometria analítica (ou vetorial) e o Teorema de Pitágoras, para mostrar que esse quadrilátero tem todos os lados iguais e ângulos retos, ou seja, é um quadrado.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas e colocamos
A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=(a,a),\quad D=(0,a),
onde a é o lado do quadrado maior. Os pontos médios são
E=\Bigl(\tfrac{a}{2},0\Bigr),\quad F=\Bigl(a,\tfrac{a}{2}\Bigr),\quad G=\Bigl(\tfrac{a}{2},a\Bigr),\quad H=\Bigl(0,\tfrac{a}{2}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o comprimento de EF. Como
EF=\sqrt{\Bigl(a-\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{a}{2}-0\Bigr)^{2}} =\sqrt{\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2}} =\frac{a\sqrt{2}}{2},
e por simetria FG=GH=HE=\tfrac{a\sqrt{2}}{2}. Logo todos os lados são iguais.

Passo 4

Para ver que os ângulos são retos, basta notar os vetores
\overrightarrow{EF}=\Bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\Bigr), \quad \overrightarrow{EH}=\Bigl(-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\Bigr).
O produto escalar é
\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EH} =\tfrac{a}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{a}{2}\bigr) +\tfrac{a}{2}\cdot\tfrac{a}{2} =0,
logo EF\perp EH. Assim cada vértice do quadrilátero interno tem ângulo de 90^\circ.

Passo 5

Como o quadrilátero tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos, concluímos que é um quadrado de lado
s = EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

A área do quadrado menor vale
s^{2} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{2}.
Como nos dizem que essa área é 72,cm^{2}, temos
\frac{a^{2}}{2} = 72 \quad\Longrightarrow\quad a^{2} = 144 \quad\Longrightarrow\quad a = 12\\ (\text{cm}).

Resposta

O lado do quadrado maior mede 12,cm.