(Unifor-99) Sejam A e B, respectivamente, o quarto e o quinto termos do desenvolvimento do binômio \left(2 x+\frac{1}{x}\right)^{\prime \prime} segundo as potências decrescentes de x. Se \frac{A}{B}=x^{2}, então o ıúmero natural n é igual a

Passo 1

O enunciado pede o quarto e o quinto termos do desenvolvimento do binômio \bigl(2x + x^{-1}\bigr)^{n} em potências decrescentes de x, chamando-os de A e B, respectivamente. Sabe-se que \tfrac{A}{B}=x^{2} e queremos descobrir o valor natural de n. Para isso, usaremos o teorema binomial e a fórmula do termo geral.

Passo 2

Pelo teorema binomial, o termo de índice k (começando em k=0) de \bigl(2x + x^{-1}\bigr)^{n} é
T_{k+1} = \binom{n}{k}\,(2x)^{\,n-k}\,(x^{-1})^{k} = \binom{n}{k}\,2^{\,n-k}\,x^{\,n-2k}.
Na ordem natural, o quarto termo corresponde a k=3 e o quinto a k=4. Assim,
A = T_4 = \binom{n}{3}\,2^{\,n-3}\,x^{\,n-6}, \quad B = T_5 = \binom{n}{4}\,2^{\,n-4}\,x^{\,n-8}.

Passo 3

Calculamos a razão:
\frac{A}{B} = \frac{\binom{n}{3}\,2^{\,n-3}\,x^{\,n-6}}{\binom{n}{4}\,2^{\,n-4}\,x^{\,n-8}} = \frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{4}}\;\cdot 2\;\cdot x^{2}.
Como foi dado que \tfrac{A}{B}=x^{2}, deve valer
\frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{4}}\;\cdot 2 = 1.

Passo 4

Usamos
\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad \binom{n}{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.
Substituindo na equação:
2 \,\frac{\tfrac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\tfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 8 = n - 3 \quad\Longrightarrow\quad n = 11.

Resposta

11