Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
Questão sem enunciado
f(x)=x^2 ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para, usando a primeira derivada, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=x^2ln(x)
O conteúdo envolve derivação por produto, determinação de pontos críticos e exame do sinal de f'(x).

Passo 2

Identificamos o domínio de f. Como há ln(x), precisamos ter
x>0
Portanto, todos os cálculos de derivada e análise de sinais valem apenas para xin(0,infty).

Passo 3

Calculamos a derivada usando a regra do produto em ;x^2cdotln(x):
f'(x)=ddxl(x^2r),ln(x)+x^2,ddxl(ln(x)r) =2x,ln(x)+x^2cdot1x
Simplificando,
f'(x)=2xln(x)+x = xl(2ln(x)+1r)

Passo 4

Determinamos os pontos em que f'(x)=0. Como x>0, a equação
xl(2ln(x)+1r)=0
só se anula quando
2ln(x)+1=0 Longrightarrow ln(x)=-tfrac12 Longrightarrow x=e^-1/2
Esse é o único ponto crítico em (0,infty).

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x)=x(2ln(x)+1) em cada região do domínio:
  • Em (0,e^-1/2): temos ln(x)<-1/2, logo 2ln(x)+1<0. Como x>0, resulta f'(x)<0.
  • Em (e^-1/2,infty): temos ln(x)>-1/2, logo 2ln(x)+1>0. Como x>0, resulta f'(x)>0.

Resposta

f é decrescente em (0,e^-1/2)
f é crescente em (e^-1/2,infty)