Usando as técnicas de derivação, calcule fx e fy para as seguintes funções:
f(x, y)=e^x2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais ,fx e ,fy de
f(x,y)=e^x2x+3y
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto (ou quociente) e a regra da cadeia, lembrando que para derivar e^x em relação a x temos d(e^x)/dx=e^x e que
ddx(2x+3y)^-1=-1cdot(2x+3y)^-2cdotddx(2x+3y)

Passo 2

Primeiro vamos calcular ,fx. Escrevemos
f(x,y)=e^xcdot(2x+3y)^-1,
e definimos
u=e^x, v=(2x+3y)^-1
Então
u'=e^x, v'=-1cdot(2x+3y)^-2cdot2=-2,(2x+3y)^-2
Pela regra do produto,
fx = u',v + u,v' = e^x,(2x+3y)^-1 -2,e^x,(2x+3y)^-2
Podemos deixar em forma de soma de frações:
fx = e^x2x+3y ;-;2e^x(2x+3y)^2
Ou ainda combinar em única fração:
fx = e^xl(2x+3y -2r)(2x+3y)^2

Passo 3

Agora calculamos ,fy. Aqui e^x é constante em relação a y, então só derivamos (2x+3y)^-1 em função de y:
ddy(2x+3y)^-1=-1cdot(2x+3y)^-2cdot3=-3,(2x+3y)^-2
Logo
fy = e^x cdotl[-3,(2x+3y)^-2r] = -3e^x(2x+3y)^2

Resposta

fx = e^x2x+3y ;-;2e^x(2x+3y)^2, fy = -3e^x(2x+3y)^2