Usando as técnicas de derivação, calcule fx e fy para as seguintes funções:
f(x, y)=ln yx-2 y

Passo 1

O enunciado nos pede as derivadas parciais de f(x,y)=ln yx-2y. Esse conteúdo envolve derivadas parciais de função quociente e a derivada de ln y.

Passo 2

Vamos definir u(x,y)=ln y e v(x,y)=x-2y. A regra do quociente diz que
partialpartial xl(uvr) =ux,v - u,vxv^2,
partialpartial yl(uvr) =uy,v - u,vyv^2

Passo 3

Calculemos as derivadas de u e v em relação a x:
ux=partialpartial x(ln y)=0, vx=partialpartial x(x-2y)=1
Aplicando a regra do quociente,
fx =0cdot(x-2y)-(ln y)cdot1(x-2y)^2 =-ln y(x-2y)^2

Passo 4

Calculemos as derivadas de u e v em relação a y:
uy=partialpartial y(ln y)=1y, vy=partialpartial y(x-2y)=-2
Aplicando a regra do quociente,
fy =1y,(x-2y)-(ln y),(-2)(x-2y)^2 =x-2yy+2ln y(x-2y)^2
Para simplificar, combine no numerador:
fy =x-2y+2yln yy,(x-2y)^2

Resposta

fx=-ln y(x-2y)^2, fy=x-2y+2yln yy,(x-2y)^2