Use a definição de derivada para determinar f^{\prime}(x).
Problemas 1 e 2, use a definição de derivada para determinar f^{\prime}(x).
f(x)=\frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{x-2} usando a definição de derivada. Vamos aplicar a definição do quociente incremental
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
e usar álgebra de frações para simplificar antes de fazer o limite.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferenças para f(x):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\frac{1}{(x+h)-2}-\frac{1}{x-2}}{h}.

Passo 3

Vamos combinar as duas frações no numerador:
\frac{1}{x+h-2}-\frac{1}{x-2} =\frac{(x-2)-(x+h-2)}{(x+h-2)(x-2)} =\frac{-h}{(x+h-2)(x-2)}.

Passo 4

Substituindo no quociente de diferenças e simplificando o h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-h}{(x+h-2)(x-2)}\cdot\frac{1}{h} =-\frac{1}{(x+h-2)(x-2)}.

Passo 5

Fazendo h\to0 no fator que resta:
f'(x) =\lim_{h\to0}\Bigl(-\frac{1}{(x+h-2)(x-2)}\Bigr) =-\frac{1}{(x-2)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}.