Use a indução matemática para mostrar que
sempre que
for um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
valeu para todo inteiro positivo
. Vamos usar o princípio da indução que envolve dois ingredientes: o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
:
O lado esquerdo fica
O lado esquerdo fica
e o lado direito é
Portanto, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para
, isto é, que
Precisamos mostrar que daí decorre o caso
.
Passo 4
Para
, a soma até
é
Pelo passo indutivo, os primeiros
termos somam
. Logo
Agora, escrevendo ambos os termos sobre
:
Portanto a soma total é
que é exatamente o que queríamos provar para
.
Resposta
Pelo princípio da indução, concluímos que
vale para todo inteiro positivo
.