Use a indução matemática para mostrar que \frac{2}{3}+\frac{2}{9}+ \frac{2}{27}+\cdots+\frac{2}{3^{n}}=1-\frac{1}{3^{n}} sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \cdots + \frac{2}{3^n} = 1 - \frac{1}{3^n}
valeu para todo inteiro positivo n. Vamos usar o princípio da indução que envolve dois ingredientes: o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1:
O lado esquerdo fica
\frac{2}{3^1} = \frac{2}{3},
e o lado direito é
1 - \frac{1}{3^1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para n=k, isto é, que
\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \cdots + \frac{2}{3^k} = 1 - \frac{1}{3^k}.
Precisamos mostrar que daí decorre o caso n=k+1.

Passo 4

Para n=k+1, a soma até k+1 é
\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \cdots + \frac{2}{3^k} + \frac{2}{3^{k+1}}.
Pelo passo indutivo, os primeiros k termos somam 1 - \frac{1}{3^k}. Logo
1 - \frac{1}{3^k} + \frac{2}{3^{k+1}} = 1 \;-\;\frac{1}{3^k} + \frac{2}{3\cdot 3^k} = 1 \;-\;\frac{1}{3^k} + \frac{2}{3^{k+1}}.
Agora, escrevendo ambos os termos sobre 3^{k+1}:
-\frac{1}{3^k} + \frac{2}{3^{k+1}} = -\frac{3}{3^{k+1}} + \frac{2}{3^{k+1}} = -\frac{1}{3^{k+1}}.
Portanto a soma total é
1 - \frac{1}{3^{k+1}},
que é exatamente o que queríamos provar para n=k+1.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que
\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \cdots + \frac{2}{3^n} = 1 - \frac{1}{3^n}
vale para todo inteiro positivo n.