Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
\int_{0}^{0,3} \frac{x}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{0,3}\frac{x}{1+x^{3}}\,dx
com precisão de seis casas decimais usando série de potências. Vamos usar a expansão de \frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k}
com u=x^{3} e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\frac{x}{1+x^{3}} = x\cdot\frac{1}{1+ x^{3}} = x\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(x^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{3k+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo no intervalo [0,0,3]:
\int_{0}^{0,3}\frac{x}{1+x^{3}}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{0}^{0,3}x^{3k+1}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left[\frac{x^{3k+2}}{3k+2}\right]_{0}^{0,3} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(0,3)^{3k+2}}{3k+2}.

Passo 4

A série é alternada e monoticamente decrescente em módulo para x=0,3. Pelo critério da série alternada, o resto ao truncar após k=N tem módulo menor que o termo seguinte,
R_{N}\le \frac{(0,3)^{3(N+1)+2}}{3(N+1)+2}.
Queremos R_{N}<10^{-6}.

Passo 5

Calculamos os primeiros termos em módulo:
k =0: \displaystyle T_{0}=\frac{(0,3)^{2}}{2}=\frac{0,09}{2}=0,045.
k =1: \displaystyle T_{1}=\frac{(0,3)^{5}}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486.
k =2: \displaystyle T_{2}=\frac{(0,3)^{8}}{8}=\frac{0,00006561}{8}\approx0,00000820125.
k =3: \displaystyle T_{3}=\frac{(0,3)^{11}}{11}=\frac{0,000001771561}{11}\approx1,61\times10^{-7}<10^{-6}.
Como T_{3}<10^{-6}, basta usar os termos k=0,1,2.

Passo 6

Somamos com os sinais alternados até k=2:
I\approx T_{0}-T_{1}+T_{2} =0,045-0,000486+0,00000820125 =0,04452220125.

Passo 7

Arredondando para seis casas decimais, obtemos
0,04452220125\approx0,044522.

Resposta

0,044522