1. Para quais valores de b o gráfico de y=x^2+b x+1 tem uma tangente horizontal em x=3 ?

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de b tais que a parábola
y = x^2 + b,x + 1
tenha tangente horizontal no ponto em que x=3. O conteúdo principal aqui é derivada de função polinomial e condição de tangente horizontal (derivada nula).

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = x^2 + b,x + 1
pela regra de potência e soma de derivadas. Assim,
y' = ddxl(x^2r) + ddxl(b,xr) + ddx(1) = 2,x + b + 0 = 2,x + b

Passo 3

Para que a tangente seja horizontal em x=3, exigimos
y'(3) = 0
Substituindo x=3 em y':
2cdot 3 + b = 0 Longrightarrow 6 + b = 0 Longrightarrow b = -6

Resposta

O gráfico tem tangente horizontal em x=3 somente se
b = -6