varphi(x)=log 1-x1+x. Verificar a igualdade de varphi(a)+varphi(b)=varphi(a+b1+a b).

Passo 1

O enunciado define a função
varphi(x)=log1-x1+x
e pede para mostrar que, para quaisquer a e b, vale
varphi(a)+varphi(b)=varphil(a+b1+abr)
Para isso usaremos a propriedade de soma de logaritmos e álgebra de frações.

Passo 2

Calculemos varphi(a)+varphi(b). Pela definição de varphi,
varphi(a)+varphi(b) =log1-a1+a+log1-b1+b =logl(1-a1+acdot1-b1+br) =log(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)

Passo 3

Agora calculemos varphil(tfraca+b1+abr). De novo pela definição,
varphil(a+b1+abr) =log1-a+b1+ab1+a+b1+ab =log1+ab-(a+b)1+ab1+ab+(a+b)1+ab =log1+ab-(a+b)1+ab+(a+b)
Observando que
1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b), 1+ab+(a+b)=(1+a)(1+b),
temos
varphil(a+b1+abr) =log(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)

Passo 4

Comparando os resultados dos dois passos anteriores, vemos que ambas as expressões são iguais a
log(1-a)(1-b)(1+a)(1+b),
portanto
varphi(a)+varphi(b) =varphil(a+b1+abr),
como era para verificar.

Resposta

A igualdade varphi(a)+varphi(b)=varphil(tfraca+b1+abr) está confirmada.

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