VENDAS NO VAREJO Uma loja está vendendo um videogame por R 40,00 e, por esse preço, tem vendido 50 jogos por mês. O dono da loja quer aumentar o preço e calcula que, para cada R 1,00 de aumento, três jogos a menos serão vendidos por mês. Se cada jogo custa à loja R\ 25,00$, qual deve ser o preço para que o lucro seja o maior possível?

Passo 1

O enunciado diz que, ao preço de R$ 40{,}00, são vendidas 50 unidades por mês. Para cada acréscimo de R$ 1{,}00 no preço, a quantidade vendida cai em 3 unidades. O custo de cada videogame para a loja é R$ 25{,}00. Queremos escolher o preço que maximiza o lucro, usando otimização de função quadrática (vértice de parábola).

Passo 2

Definimos x = número de reais de aumento sobre R$ 40{,}00.
Então o preço de venda é
p(x)=40 + x,
e a quantidade vendida é
q(x)=50 - 3x.

Passo 3

O lucro mensal \pi(x) é dado por receita menos custo:
\pi(x)=\bigl(p(x)-25\bigr)\,q(x).
Substituindo p(x) e q(x), temos
\pi(x)=\bigl(40 + x - 25\bigr)\,(50 - 3x) =(15 + x)(50 - 3x).
Expandindo,
\pi(x)=15\cdot50 +15\cdot(-3x)+x\cdot50 +x\cdot(-3x) =750 -45x +50x -3x^2 =750 +5x -3x^2.

Passo 4

Para maximizar a parábola \pi(x)=-3x^2+5x+750, usamos a fórmula do vértice x^*=-\tfrac{b}{2a}:
x^*=-\frac{5}{2\cdot(-3)}=\frac{5}{6}\approx0{,}833.

Passo 5

O preço ótimo é
p(x^*)=40 + x^*=40 + \frac{5}{6}= \frac{245}{6}\approx40{,}83.

Resposta

O preço deve ser R$ 40{,}83 para obter o lucro máximo.