Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O eixo x é tangente à curva polar r=\cos (\theta / 2) em \theta=3 \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r = \cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)
e pede para determinar se o eixo x é tangente à curva no valor \theta = 3\pi.
Conteúdo aplicado: expressar a curva em paramétricas x(\theta),y(\theta), usar a fórmula do declive
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dr}{d\theta}\,\sin\theta + r\,\cos\theta} {\frac{dr}{d\theta}\,\cos\theta - r\,\sin\theta}
e verificar se esse declive é zero (horizontal) ou se, no caso de r(3\pi)=0, a reta tangente coincide com o eixo x.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas cartesianas em função de \theta:
x(\theta)=r\cos\theta,\qquad y(\theta)=r\sin\theta,
com
r(\theta)=\cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr), \quad \frac{dr}{d\theta}=-\tfrac12\,\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Passo 3

Avaliaremos em \theta=3\pi:
r(3\pi) =\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,
\frac{dr}{d\theta}\Big|_{\theta=3\pi} =-\tfrac12\,\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =-\tfrac12\cdot(-1) =\tfrac12.

Passo 4

Calculamos o declive:
\frac{dy}{dx}\Big|_{\theta=3\pi} =\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)\sin(3\pi)+0\cdot\cos(3\pi)} {\bigl(\tfrac12\bigr)\cos(3\pi)-0\cdot\sin(3\pi)} =\frac{\tfrac12\cdot0}{\tfrac12\cdot(-1)} =0.
O declive é zero, indicando reta horizontal. Além disso, como r(3\pi)=0 e \tfrac{dr}{d\theta}\neq0, o ponto está na origem e a reta tangente forma ângulo \theta=3\pi, isto é, coincide com o eixo x.

Resposta

Verdadeiro.