Verifique que o campo \vec{F}(x, y)=(\operatorname{sen} 2 x+2 \cos x \cos y) \vec{i}-(2 \operatorname{sen} x \operatorname{sen} y+\operatorname{sen} 2 y) \vec{j} é conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo
\displaystyle \vec{F}(x,y)=\bigl(\sin2x+2\cos x\cos y\bigr)\,\vec{i}-\bigl(2\sin x\sin y+\sin2y\bigr)\,\vec{j}
e pede para verificar que ele é conservativo. Em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo) basta mostrar que, se escrevemos \vec{F}=(P,Q), vale
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y)=\sin2x+2\cos x\cos y, \qquad Q(x,y)=-\bigl(2\sin x\sin y+\sin2y\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin2x+2\cos x\cos y\bigr) =-2\cos x\,\sin y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-2\sin x\sin y-\sin2y\bigr] =-2\cos x\,\sin y.
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\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 4

Como o domínio é todo \mathbb{R}^2, que é aberto e simplesmente conexo, o Teorema da Conservatividade garante que \vec{F} é um gradiente e, portanto, conservativo.

Resposta

O campo \vec{F} é conservativo.