Verifique a Fórmula (1) do Teorema da Divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla.
é a superfície esférica
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (ou Gauss) para
na superfície esférica .
O Teorema da Divergência diz que
na superfície esférica
O Teorema da Divergência diz que
onde
é a bola sólida
.
Vamos calcular separadamente a integral de superfície (fluxo) e a integral tripla (divergência).
Vamos calcular separadamente a integral de superfície (fluxo) e a integral tripla (divergência).
Passo 2
Para a integral de superfície, parametrize a esfera unitária em coordenadas esféricas padrão:
com
,
.
Nesse caso o vetor normal unitário é e
.
Então
Nesse caso o vetor normal unitário é
Então
Logo
Separe em duas integrais:
pois
,
Portanto
Passo 3
Agora calcule a divergência de
:
Assim a integral tripla sobre o volume
da bola unitária é
Resposta
verificando que ambas são iguais e confirmando o Teorema da Divergência.