Verifique a Fórmula (1) do Teorema da Divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla.
\mathbf{F}(x, y, z)=5 \mathbf{j}+7 \mathbf{k} ; \sigma é a superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (ou Gauss) para \mathbf{F}(x,y,z)=5\,\mathbf{j}+7\,\mathbf{k}
na superfície esférica \sigma\colon x^2+y^2+z^2=1.
O Teorema da Divergência diz que
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV,
onde V é a bola sólida x^2+y^2+z^2\le1.
Vamos calcular separadamente a integral de superfície (fluxo) e a integral tripla (divergência).

Passo 2

Para a integral de superfície, parametrize a esfera unitária em coordenadas esféricas padrão:
x=\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\cos\varphi,
com 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta<2\pi.
Nesse caso o vetor normal unitário é \mathbf{n}=(x,y,z) e \,dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =(0,5,7)\cdot(x,y,z) =5y+7z =5\sin\varphi\sin\theta+7\cos\varphi.
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\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \bigl(5\sin\varphi\sin\theta+7\cos\varphi\bigr)\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Separe em duas integrais:
I_{1}=5\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi=0,
pois \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
I_{2}=7\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =7\cdot2\pi\cdot\Bigl[\tfrac12\sin^{2}\varphi\Bigr]_{0}^{\pi}=7\cdot2\pi\cdot0=0.
Portanto
\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=I_{1}+I_{2}=0.

Passo 3

Agora calcule a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(0) +\frac{\partial}{\partial y}(5) +\frac{\partial}{\partial z}(7) =0+0+0=0.
Assim a integral tripla sobre o volume V da bola unitária é
\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV =\iiint_{V}0\,dV=0.

Resposta

\displaystyle\iint_{\sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=0, \displaystyle\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV=0,
verificando que ambas são iguais e confirmando o Teorema da Divergência.