O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a fórmula: c=1,0+2,0 T+e^-T, sendo T em ^circ C e c em cal / g cdot K. Calcule o calor necessário para aumentar a temperatura de 3,0 g desta substância de 0^circ C até 100 ^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o calor necessário para aumentar a temperatura de 3,0 g de uma substância que tem o calor específico variando com a temperatura, seguindo a fórmula $ c = 1,0 + 2,0T + e^{-T} $. Isso envolve conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo de calor com calor específico variável. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o calor $ Q $ necessário para aquecer uma substância é dado pela fórmula:
Q
onde:
  • $ m $ é a massa da substância,
  • $ c(T) $ é o calor específico que depende da temperatura,
  • $ T_1 $ é a temperatura inicial,
  • $ T_2 $ é a temperatura final.
No nosso caso, temos:
  • $ m = 3,0 $ g,
  • $ c(T) = 1,0 + 2,0T + e^{-T} $,
  • $ T_1 = 0^\circ \mathrm{C} $,
  • $ T_2 = 100^\circ \mathrm{C} $.

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula do calor:
Q = 3,0 times integral0^100 (1,0 + 2,0T + e^-T) , dT
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando termo a termo:
  1. integral 1,0 , dT = T
  2. integral 2,0T , dT = 2,0 times T^22 = T^2
  3. integral e^-T , dT = -e^-T
Então, a integral fica:
integral0^100 (1,0 + 2,0T + e^-T) , dT = [ T + T^2 - e^-T ]0^100

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 100:
[ 100 + (100)^2 - e^-100 ] - [ 0 + 0^2 - e^0 ] = (100 + 10000 - e^-100) - (0 + 0 - 1)
Sabemos que $ e^{-100} $ é praticamente zero, então:
e^-100

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo valor da massa:
Q = 3,0 times 10101 = 30303 , cal

Resposta

O calor necessário para aumentar a temperatura de 3,0 g dessa substância de $ 0^\circ \mathrm{C} $ até $ 100^\circ \mathrm{C} $ é de 30.303 calorias.

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