O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a fórmula:
, sendo
em
e
. Calcule o calor necessário para aumentar a temperatura de
desta substância de
até 100
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o calor necessário para aumentar a temperatura de 3,0 g de uma substância que tem o calor específico variando com a temperatura, seguindo a fórmula $ c = 1,0 + 2,0T + e^{-T} $. Isso envolve conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo de calor com calor específico variável. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o calor $ Q $ necessário para aquecer uma substância é dado pela fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa da substância,
- $ c(T) $ é o calor específico que depende da temperatura,
- $ T_1 $ é a temperatura inicial,
- $ T_2 $ é a temperatura final.
No nosso caso, temos:
- $ m = 3,0 $ g,
- $ c(T) = 1,0 + 2,0T + e^{-T} $,
- $ T_1 = 0^\circ \mathrm{C} $,
- $ T_2 = 100^\circ \mathrm{C} $.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula do calor:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 100:
Sabemos que $ e^{-100} $ é praticamente zero, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo valor da massa:
Resposta
O calor necessário para aumentar a temperatura de 3,0 g dessa substância de $ 0^\circ \mathrm{C} $ até $ 100^\circ \mathrm{C} $ é de 30.303 calorias.