O deslocamento de um pistão, quando colocado num gráfico p-V, é dado por:
p(V)= V^2, & 0 <= V <= 2 13(16-2 V), & 2 <= V <= 5 2, & 5 <= V <= 8
Calcule o trabalho total realizado no intervalo [0,8].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gráfico de pressão ( p) versus volume ( V) para o deslocamento de um pistão, definido por uma função que muda de expressão em diferentes intervalos de volume. Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado nesse intervalo de V de 0 a 8. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que basicamente nos ajuda a encontrar a área sob a curva do gráfico p- V, representando o trabalho realizado pelo pistão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho ( W) realizado por um pistão quando há variação de volume pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralVi^Vf p(V) , dV
Aqui, Vi é o volume inicial e Vf é o volume final. No nosso caso, Vi = 0 e Vf = 8. Mas, como a função p(V) é definida em partes, precisamos dividir essa integral em três intervalos: de 0 a 2, de 2 a 5, e de 5 a 8.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho para o primeiro intervalo, de V = 0 a V = 2, onde a pressão é dada por p(V) = V^2. A integral fica:
W1 = integral0^2 V^2 , dV
Integrando V^2, temos:
W1 = [ V^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83

Passo 4

Agora, vamos para o segundo intervalo, de V = 2 a V = 5, onde a pressão é p(V) = 13(16 - 2V). A integral correspondente é:
W2 = integral2^5 13(16 - 2V) , dV
Primeiro, simplificamos a constante:
W2 = 13 integral2^5 (16 - 2V) , dV
Integrando (16 - 2V):
W2 = 13 [ 16V - V^2 ]2^5 = 13 ( (16 times 5 - 5^2) - (16 times 2 - 2^2) )
Calculando os valores:
W2 = 13 ( (80 - 25) - (32 - 4) ) = 13 (55 - 28) = 273 = 9

Passo 5

Por fim, vamos calcular o trabalho para o terceiro intervalo, de V = 5 a V = 8, onde a pressão é constante: p(V) = 2. A integral é:
W3 = integral5^8 2 , dV
Como a pressão é constante, a integral é simplesmente:
W3 = 2 times (8 - 5) = 2 times 3 = 6

Resposta

Somando os trabalhos dos três intervalos:
Wtotal = W1 + W2 + W3 = 83 + 9 + 6 = 83 + 15 = 533 approx 17,67
Então, o trabalho total realizado no intervalo de V = 0 a V = 8 é aproximadamente 17,!67 unidades de trabalho.

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