O deslocamento de um pistão, quando colocado num gráfico , é dado por:
Calcule o trabalho total realizado no intervalo [0,8].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gráfico de pressão (p) versus volume (V) para o deslocamento de um pistão, definido por uma função que muda de expressão em diferentes intervalos de volume. Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado nesse intervalo de V de 0 a 8. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que basicamente nos ajuda a encontrar a área sob a curva do gráfico p-V, representando o trabalho realizado pelo pistão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho (W) realizado por um pistão quando há variação de volume pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralVi^Vf p(V) , dV
Aqui, Vi é o volume inicial e Vf é o volume final. No nosso caso, Vi = 0 e Vf = 8. Mas, como a função p(V) é definida em partes, precisamos dividir essa integral em três intervalos: de 0 a 2, de 2 a 5, e de 5 a 8.
Passo 3
Vamos calcular o trabalho para o primeiro intervalo, de V = 0 a V = 2, onde a pressão é dada por p(V) = V^2. A integral fica:
W1 = integral0^2 V^2 , dV
Integrando V^2, temos:
W1 = [ V^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83
Passo 4
Agora, vamos para o segundo intervalo, de V = 2 a V = 5, onde a pressão é p(V) = 13(16 - 2V). A integral correspondente é: