O calor específico do vapor de água ( M=18,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ), medido a pressão constante, é 2,50 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}. Admitindo que o vapor de água seja um gás ideal, qual é o calor específico a volume constante?
18. O calor específico do ar, a 0^{\circ} \mathrm{C}, está listado num manual de dados como sendo igual a 1,00 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K}, medido a pressão constante. (a) Admitindo ser o ar um gás ideal, qual o calor específico a 0^{\circ} \mathrm{C} a volume constante? (M=29,0). (b) Qual a energia interna contida em um litro de ar a 0^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado traz dois problemas envolvendo gases ideais. No primeiro, temos o calor específico a pressão constante do vapor de água \bigl(C_{p}=2{,}50\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\bigr) e massa molar M=18{,}0\;\mathrm{g/mol}, e pedem o calor específico a volume constante C_{v}. No segundo, o calor específico a pressão constante do ar a 0\,^\circ\mathrm{C} está dado como 1{,}00\;\mathrm{J/(g\cdot K)} com M=29{,}0\;\mathrm{g/mol}; pedem (a) o C_{v} e (b) a energia interna em 1\;\mathrm{L} de ar a 0\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Para um gás ideal vale a relação
C_{p}-C_{v}=R_{\mathrm{específico}},í
onde R_{\mathrm{específico}} = \dfrac{R_{\mathrm{univ}}}{M}í. Aqui R_{\mathrm{univ}}=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)} e M deve ficar em \mathrm{kg/mol}.

Passo 3

Vapor de água:
  • Convertemos M=18{,}0\;\mathrm{g/mol}=0{,}018\;\mathrm{kg/mol}.
  • Calculamos
R_{\mathrm{H_2O}} = \frac{8{,}314}{0{,}018} = 461{,}9\;\mathrm{J/(kg\cdot K)} = 0{,}4619\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Logo
C_{v} = C_{p} - R = 2{,}50 - 0{,}4619 = 2{,}0381\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\approx 2{,}04\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Ar a 0\,^\circ\mathrm{C}:
  • M=29{,}0\;\mathrm{g/mol}=0{,}029\;\mathrm{kg/mol} e C_{p}=1{,}00\;\mathrm{J/(g\cdot K)}=1000\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}.

R_{\mathrm{ar}} = \frac{8{,}314}{0{,}029} = 286{,}7\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}.

C_{v} = C_{p} - R = 1000 - 286{,}7 = 713{,}3\;\mathrm{J/(kg\cdot K)} = 0{,}713\;\mathrm{J/(g\cdot K)}.

Passo 5

Energia interna em 1\;\mathrm{L} de ar a 0\,^\circ\mathrm{C}:
  • Para gás ideal, U = m\,C_{v}\,T.
  • A massa m vem de pV = m\,R_{\mathrm{ar}}\,T. Com p=1\;\mathrm{atm}=101325\;\mathrm{Pa}, V=1\;\mathrm{L}=1\times10^{-3}\;\mathrm{m^3}, T=273{,}15\;\mathrm{K}:
m = \frac{p\,V}{R_{\mathrm{ar}}\,T} = \frac{101325\times10^{-3}}{286{,}7\times273{,}15} \approx 1{,}293\times10^{-3}\;\mathrm{kg}.
  • Assim
U = m\,C_{v}\,T = \bigl(1{,}293\times10^{-3}\bigr)\times(713{,}3)\times(273{,}15) \approx 252\;\mathrm{J}.

Resposta

(1) Para o vapor de água:
C_{v}\approx 2{,}04\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(2a) Para o ar a 0\,^\circ\mathrm{C}:
C_{v}\approx 0{,}713\;\mathrm{J/(g\cdot K)}.
(2b) Energia interna em 1\;\mathrm{L} de ar a 0\,^\circ\mathrm{C}:
U\approx 252\;\mathrm{J}.

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