Um gás ideal, inicialmente na pressão P_{1}=2 \mathrm{~atm}, com o volume V_{1}=1 \ell e na temperatura T_{1}=300 \mathrm{~K}, expande-se isobaricamente até o seu volume ser 4 \ell. (a) Qual o trabalho efetuado durante esta expansão? (b) Qual a temperatura do gás depois desta expansão? (c) O gás é então resfriado a volume constante até a sua pressão cair a 0,5 atm. Qual é então a sua temperatura? (d) Qual é a quantidade líquida de calor trocado pelo gás durante o processo completo de expansão e de resfriamento?

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal que passa por dois processos em sequência: primeiro uma expansão isobárica de (P_{1}=2\text{ atm},V_{1}=1\text{ L},T_{1}=300\text{ K}) até V_{2}=4\text{ L}, depois um resfriamento isocórico até a pressão P_{3}=0{,}5\text{ atm}. Vamos calcular:
  • (a) o trabalho feito na expansão isobárica;
  • (b) a nova temperatura T_{2};
  • (c) a temperatura final T_{3} após o resfriamento isocórico;
  • (d) o calor líquido trocado nos dois processos.
    Usaremos a equação de estado \displaystyle PV=nRT, a definição de trabalho em processo isobárico \displaystyle W=P\,\Delta V e, para os calores, assumiremos um gás monatomic com C_{V}=\tfrac{3}{2}R e C_{P}=\tfrac{5}{2}R.

Passo 2

No processo isobárico P=P_{1} constante, o trabalho é
W = P_{1}\,(V_{2}-V_{1}).
Convertendo para SI:
\displaystyle P_{1}=2\cdot1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}=2{,}026\times10^{5}\,\mathrm{Pa},\quad V_{2}-V_{1}=(4-1)\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}}=3\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}}.
Logo
W = 2{,}026\times10^{5}\times3\times10^{-3}\approx6{,}08\times10^{2}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Para achar T_{2} na expansão isobárica, usamos
\frac{P_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{1}V_{2}}{T_{2}} \quad\Longrightarrow\quad T_{2}=T_{1}\,\frac{V_{2}}{V_{1}} =300\cdot\frac{4}{1}=1200\text{ K}.

Passo 4

No resfriamento isocórico ( V=4\text{ L} constante), temos P/T constante, logo
\frac{P_{2}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{3}} \quad\Longrightarrow\quad T_{3}=T_{2}\,\frac{P_{3}}{P_{2}} =1200\cdot\frac{0{,}5}{2}=300\text{ K}.

Passo 5

Para o calor trocado, precisamos da quantidade de mols n. Da condição inicial:
n=\frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{2\;\text{atm}\times1\;\text{L}}{0{,}082\;\frac{\text{atm L}}{\text{mol K}}\times300\;\text{K}} \approx0{,}0813\;\mathrm{mol}.
  1. Calor na isobárica:
Q_{1}=n\,C_{P}\,(T_{2}-T_{1}) =0{,}0813\cdot\frac{5}{2}R\,(1200-300) \approx0{,}0813\cdot20{,}785\cdot900 \approx1{,}52\times10^{3}\,\mathrm{J}.
  1. Calor na isocórica:
Q_{2}=n\,C_{V}\,(T_{3}-T_{2}) =0{,}0813\cdot\frac{3}{2}R\,(300-1200) \approx0{,}0813\cdot12{,}471\cdot(-900) \approx-9,13\times10^{2}\,\mathrm{J}.
Portanto o calor líquido é
Q_{\text{net}}=Q_{1}+Q_{2} \approx1{,}52\times10^{3}-9{,}13\times10^{2} \approx6,07\times10^{2}\,\mathrm{J}.

Resposta

(a) 6,08\times10^{2}\,\mathrm{J}
(b) 1200\text{ K}
(c) 300\text{ K}
(d) 6,07\times10^{2}\,\mathrm{J}

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