Calor, em uma quantidade de 150 KJ , é transferido de um reservatório quente a
para dois reservatórios mais frios a
350 K e
. A temperatura da vizinhança é de
. Se a transferência de calor para o reservatório na temperatura 1 for a metade daquela transferida para o reservatório a
, calcule:
a) A geração de entropia em
.
b) O trabalho perdido.
Como o processo poderia virar reversível?
a) A geração de entropia em
b) O trabalho perdido.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda. Dados fornecidos:
(calor extraído do reservatório quente e distribuído entre os dois frios).
(temperatura do reservatório quente).
(temperatura do primeiro reservatório frio).
(temperatura do segundo reservatório frio).
O enunciado diz que a temperatura da vizinhança é (vou chamar assim para não confundir com
).
Relação entre os calores: "a transferência de calor para o reservatório na temperatura 1 for a metade daquela transferida para o reservatório a ". Vou traduzir isso como
O enunciado diz que a temperatura da vizinhança é
Relação entre os calores: "a transferência de calor para o reservatório na temperatura 1 for a metade daquela transferida para o reservatório a
O que se pede:
a) a geração de entropia (em );
b) o trabalho perdido (em );
c) como o processo poderia tornar-se reversível (explicação).
a) a geração de entropia (em
b) o trabalho perdido (em
c) como o processo poderia tornar-se reversível (explicação).
Passo 2
Determinar quanto de calor vai para cada reservatório frio usando as relações fornecidas. Temos as incógnitas
Substituindo (Q_{1}=\tfrac{1}{2}Q_{2}] na primeira equação:
Logo
e
]
Logo
e
Passo 3
Relembrando a fórmula prática para mudança de entropia de um reservatório que recebe ou perde calor de forma quase-estática:
onde
é o calor recebido pelo reservatório (positivo se recebido, negativo se perdido) e
é a temperatura absoluta do reservatório (em K). Unidade resultante:
se
estiver em
. Vou aplicar isso a cada reservatório (assumimos processos de troca de calor com reservatórios ideais, de modo que
do reservatório é exatamente
).
Calor total sai do reservatório quente:
. Então variações de entropia:
(o sinal negativo porque o reservatório quente perde calor),
(e o reservatório em
recebe
),
Passo 4
Somar as variações para obter a geração de entropia total do processo (entropia gerada
, já que não há outras contribuições):
Primeiro escrevo as frações exatas e depois simplifico:
Primeiro escrevo as frações exatas e depois simplifico:
Somando:
Para ser exato, passo ao denominador comum
:
Valor numérico:
Comentário didático curto: isso é positivo (como deve ser por segunda lei) e representa a irreversibilidade total gerada pela transferência de calor entre corpos a temperaturas diferentes.
Passo 5
Definição e cálculo do trabalho perdido (também chamado de exergia destruída por irreversibilidade): a relação usual é
onde
é a temperatura da vizinhança (referência) em que se mede o trabalho perdido. Aqui
. Usando o valor exato em fração:
Valor numérico:
Interpretação: esse é o trabalho máximo que poderia ter sido extraído (ou que se perdeu) devido às irreversibilidades — é a “energia útil” que fica indisponível por causa da geração de entropia.
Passo 6
Como o processo poderia tornar-se reversível? Vou explicar de forma prática e também usando a condição matemática:
- Condição matemática para reversibilidade (geração de entropia nula) é
Com
fixo em
, essa equação impõe uma relação entre
e
. Se tentarmos satisfazer essa equação com
, obtemos um
que não é fisicamente compatível (no cálculo dá
, maior que o total), ou seja, com as quantidades de calor fixas e sem permitir trabalho útil adicional, não se consegue zerar
.
- Interpretação física / solução prática: para tornar o processo reversível seria necessário transferir calor de forma reversível, isto é, sem diferenças finitas de temperatura. Na prática isso exige:
- transferir calor por etapas infinitesimais entre corpos cuja temperatura varia continuamente (troca de calor com diferença infinitesimal de temperatura), ou
- inserir máquinas térmicas reversíveis (motores/refrigeradores de Carnot ideais) que permitam converter parte do calor em trabalho de forma reversível e ajustar os fluxos de calor de forma que a soma das entropias trocadas seja zero.
Em resumo: trocar calor diretamente entre reservatórios a temperaturas bem distintas gera irreversibilidade; para ficar reversível seria necessário um processo em muitas etapas reversíveis (diferenças infinitesimais de temperatura) ou o uso de máquinas reversíveis que alterem a distribuição de energia de modo a satisfazer.
Resposta
a)
b)
c) Tornar reversível exigiria transferir calor sem diferenças finitas de temperatura (processo em etapas infinitesimais) ou usar máquinas térmicas reversíveis que ajustem fluxos e trabalho, de forma a satisfazer (o que não é atendido com os
dados sem trabalho adicional).
b)
c) Tornar reversível exigiria transferir calor sem diferenças finitas de temperatura (processo em etapas infinitesimais) ou usar máquinas térmicas reversíveis que ajustem fluxos e trabalho, de forma a satisfazer