Considerando 1 Kg de água líquida:
b) Inicialmente a 0^{\circ} \mathrm{C}, primeiramente a água é aquecida até 50^{\circ} \mathrm{C} pelo contato com um reservatório de calor a 50^{\circ} \mathrm{C} e então até 100^{\circ} \mathrm{C} pelo contato com um reservatório a 100^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o \Delta S_{\text {total }} ?

Passo 1

O enunciado dá: temos 1\\ \mathrm{kg} de água líquida que começa a 0^\circ\mathrm{C}. Primeiro a água é aquecida até 50^\circ\mathrm{C} por contato com um reservatório a 50^\circ\mathrm{C} e depois é aquecida de 50^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} por contato com um reservatório a 100^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual é o valor de \Delta S_{\text{total}} (variação total de entropia do conjunto água + reservatórios)?\n\nInformações relevantes extraídas do enunciado:\n\n- m = 1\\ \mathrm{kg} (massa da água).\n- Temperaturas iniciais e finais da água: T_{i}=0^\circ\mathrm{C}, T_{1}=50^\circ\mathrm{C}, T_{f}=100^\circ\mathrm{C}.\n- Reservatório 1 tem temperatura T_{\text{res1}}=50^\circ\mathrm{C}.\n- Reservatório 2 tem temperatura T_{\text{res2}}=100^\circ\mathrm{C}.\n- Assumiremos calor específico da água constante e igual a c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão para água líquida).\n- Precisamos computar \Delta S_{\text{água}}á e \Delta S_{\text{reservatórios}}ó (soma das duas contribuições) e então \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{água}}+\Delta S_{\text{reservatórios}}áó.\n\nObs.: converteremos temperaturas para Kelvin quando for necessário (regra fundamental em cálculos com entropia).

Passo 2

Breve aula sobre entropia e fórmulas úteis (sem pânico, é direto):\n\n- A entropia é uma função de estado. A variação de entropia de um sistema ao passar reversivelmente de T_a para T_b é dada por\n \Delta S = \int_{T_a}^{T_b} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.\n\n- Para um corpo com calor específico (a pressão constante ou calor sensível) aproximado como constante c, a troca de calor reversível ao variar temperatura é \delta Q_{\text{rev}} = m c\, dT. Portanto\n \Delta S = m c \int_{T_a}^{T_b} \frac{dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_b}{T_a}\right).\nAqui m é a massa (em kg), c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}), e T_a,T_b são as temperaturas em Kelvin.\n\n- Para um reservatório térmico grande que fornece (ou recebe) uma quantidade de calor Q a temperatura constante T_{\text{res}}, a variação de entropia do reservatório é\n \Delta S_{\text{res}} = -\frac{Q}{T_{\text{res}}},\nonde o sinal negativo aparece porque o calor que sai do reservatório entra no sistema (soma total deve considerar ambos).\n\nObservação importante para aplicar aqui: a variação de entropia da água entre dois estados depende só dos estados (é função de estado), então podemos computá-la com a fórmula m c \ln(T_b/T_a) mesmo que o aquecimento real ocorra por contato com reservatórios (processo irreversível). Já a entropia dos reservatórios depende da quantidade de calor trocada e da temperatura fixa deles.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas para Kelvin (essa etapa é crucial):\n\n- 0^\circ\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}. Portanto T_i=273,15\\ \mathrm{K}.\n- 50^\circ\mathrm{C}=323,15\\ \mathrm{K}. Portanto T_1=323,15\\ \mathrm{K} e T_{\text{res1}}=323,15\\ \mathrm{K}.\n- 100^\circ\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K}. Portanto T_f=373,15\\ \mathrm{K} e T_{\text{res2}}=373,15\\ \mathrm{K}.\n\nMantemos m=1\\ \mathrm{kg} e c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia da água \Delta S_{\text{água}}á entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} usando a fórmula de função de estado:\n\n \Delta S_{\text{água}} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = 1\cdot 4186 \ln\!\left(\frac{373,15}{273,15}\right).á\n\nCalculemos o argumento:\n \dfrac{373,15}{273,15}\approx 1,366029. O logaritmo natural desse valor é aproximadamente \ln(1,366029)\approx 0,311932.\n\nLogo\n \Delta S_{\text{água}} \approx 4186 \times 0,311932 \approx 1305,82\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 5

Calcular os calores trocados em cada etapa (esses Q entram na entropia dos reservatórios):\n\n- Primeiro aquecimento (de 0^\circ\mathrm{C} a 50^\circ\mathrm{C}):\n Q_1 = m c (T_1 - T_i) = 1\cdot 4186\cdot (323,15-273,15)=4186\times 50 = 209300\\ \mathrm{J}.\n\n- Segundo aquecimento (de 50^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}):\n Q_2 = m c (T_f - T_1) = 1\cdot 4186\cdot (373,15-323,15)=4186\times 50 = 209300\\ \mathrm{J}.\n\nObservação: cada etapa entregou a mesma quantidade de calor porque as duas diferenças de temperatura são iguais ( 50\\ \mathrm{K}).

Passo 6

Calcular a variação de entropia dos dois reservatórios usando \Delta S_{\text{res}}=-Q/T_{\text{res}}:\n\n- Reservatório a 50^\circ\mathrm{C} (323,15 K):\n \Delta S_{\text{res1}} = -\frac{Q_1}{T_{\text{res1}}} = -\frac{209300}{323,15} \approx -647,94\\ \mathrm{J/K}.\n\n- Reservatório a 100^\circ\mathrm{C} (373,15 K):\n \Delta S_{\text{res2}} = -\frac{Q_2}{T_{\text{res2}}} = -\frac{209300}{373,15} \approx -560,90\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Somar todas as contribuições para obter \Delta S_{\text{total}}:\n\n \Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{água}} + \Delta S_{\text{res1}} + \Delta S_{\text{res2}}.á\n\nSubstituindo os valores numéricos:\n\n \Delta S_{\text{total}} \approx 1305,82 + (-647,94) + (-560,90) = 96,98\\ \mathrm{J/K}.\n\nArredondando de forma razoável (duas casas significativas após a vírgula não são necessárias aqui), podemos dar o resultado como cerca de 97,0\\ \mathrm{J/K}.\n\nInterpretação rápida: \Delta S_{\text{total}}>0, isto é esperado porque o processo, sendo feito em contatos separados com reservatórios a temperaturas finitas, é irreversível e gera entropia líquida positiva.

Resposta

\Delta S_{\text{total}}\approx 97,0\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados