Para um processo com escoamento, em regime estacionário, e a uma pressão aproximadamente igual a atmosférica, qual é a variação de entropia do gás:
a) Quando 10 mol de \mathrm{SO}_{2} são aquecidos de 200 para 1100^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia do gás quando 10 mol de \mathrm{SO}_{2} são aquecidos de 200^\circ\mathrm{C} para 1100^\circ\mathrm{C}, num processo com escoamento, em regime estacionário, a pressão aproximadamente atmosférica. Dados explícitos e relevantes do enunciado:
  • Quantidade de matéria: n=10 mol.
  • Temperaturas iniciais e finais (em Celsius): 200^\circ\mathrm{C} e 1100^\circ\mathrm{C}.
  • Processo a pressão aproximadamente constante (pressão atmosférica) e em regime estacionário.
    Pergunta explícita: qual é a variação de entropia do gás ( \Delta S) nesse aquecimento?

Passo 2

Conceito e fórmula geral que vamos usar — explicando com calma:
Para um gás ideal aquecido reversivelmente à pressão constante, a variação de entropia por mol é dada por
\Delta \bar S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{\bar C_p(T)}{T}\,dT,
onde:
  • \Delta \bar S é a variação de entropia por mol (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • \bar C_p(T) é a capacidade calorífica molar a pressão constante, que pode depender da temperatura (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • T é a temperatura em kelvin.
    Se \bar C_p for aproximadamente constante no intervalo de temperatura, a integral simplifica para
\Delta \bar S = \bar C_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
A variação total para n mols será
\Delta S = n\,\Delta \bar S = n\,\bar C_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Isso vem da definição termodinâmica \mathrm{d}S=\delta Q_\text{rev}/T e, para aquecimento reversível a pressão constante, \delta Q_\text{rev}=\bar C_p\,dT por mol.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin (obrigatório sempre que integrar em termos de T):
T_1 = 200^\circ\mathrm{C} = 200 + 273{,}15 = 473{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 1100^\circ\mathrm{C} = 1100 + 273{,}15 = 1373{,}15\\ \mathrm{K}.
Explanação rápida: usar kelvin é imprescindível porque a fórmula da entropia usa temperatura absoluta.

Passo 4

Decisão prática sobre \bar C_p: em muitos exercícios de prova, admite-se a aproximação de \bar C_p constante no intervalo (ou usa-se um valor médio tabulado). A alternativa exata exige \bar C_p(T) (tabelas ou polinômios de calor específico) e integrar numericamente. Para uma resolução de prova rápida e plausível sem tabela, vamos usar a aproximação de \bar C_p constante igual ao valor médio razoável para o \mathrm{SO}_2 gás naquele intervalo de temperatura. Aviso: isso é uma aproximação; o procedimento correto está dado no passo 2, e se você tiver tabelas, deve fazer a integral com \bar C_p(T).

Passo 5

Escolha do valor numérico para \bar C_p e justificativa rápida (aproximação típica de prova):
Vou usar um valor médio aproximado para a capacidade calorífica molar a pressão constante do \mathrm{SO}_2 gasificado no intervalo considerado:
\bar C_p \approx 43{,}5\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Justificativa leve: esse valor é um valor médio plausível para gases triatômicos com modos vibracionais parcialmente excitados na faixa 473 1373\\ \mathrm{K}. Se você tiver tabela/janaf/NASA polinômios, faça a integral exata; para a prova rápida, essa aproximação gera resultado de ordem correta.

Passo 6

Aplicar a fórmula com os números: usamos
\Delta S = n\,\bar C_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Substituindo n=10 mol, \bar C_p=43{,}5\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, T_1=473{,}15\\ \mathrm{K}, T_2=1373{,}15\\ \mathrm{K}:
Primeiro calcule o argumento do logaritmo
\frac{T_2}{T_1}=\frac{1373{,}15}{473{,}15}\approx 2{,}902.
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx \ln(2{,}902)\approx 1{,}0649.

Passo 7

Continuando o cálculo numérico passo a passo:
Calcule a variação de entropia por mol:
\Delta \bar S = \bar C_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 43{,}5\times 1{,}0649 \approx 46{,}33\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Agora a variação total para n=10 mol:
\Delta S = n\,\Delta \bar S \approx 10\times 46{,}33 \approx 463{,}3\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.

Passo 8

Interpretação e observações finais (úteis para a prova):
  • Resultado é positivo, como esperado: aquecer um gás aumenta sua entropia.
  • Se você tiver acesso a \bar C_p(T) tabulado ou a polinômios (por exemplo, polinômios de NASA/JANAF), substitua \bar C_p(T) na integral
\Delta S = n\int_{T_1}^{T_2}\frac{\bar C_p(T)}{T}\,dT
e avalie numericamente para maior precisão. Isso geralmente muda o resultado em algumas dezenas de joules por kelvin, dependendo da variação real de \bar C_p.
  • Para uma prova em que não fornecem \bar C_p, apresentar a expressão geral e, se pedirem número, justificar a escolha de um \bar C_p médio (como aqui) costuma ser aceito.

Resposta

\Delta S \approx 463{,}3\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}

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