1. Uma camada de argila saturada com 6 m de espessura, drenada por ambas as faces e sujeita a uma pressão devida ao peso próprio de camadas sobrejacentes igual a 1,32 \mathrm{kg} / \mathrm{cm}^{2}, apresente as seguintes características: índice de vazios inicial 1,02 , índice de compressão 0,23 e coeficiente de permeabilidade 3,2 \times 10^{-8} \mathrm{~cm} / \mathrm{seg}. Pede-se determinar:
    a) o recalque total da camada de argila, admitindo-se que ela sofra um acréscimo de pressões de 0,50 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}; b) os tempos em que ocorreram 50 e 80 \% do recalque total calculado.
    Resp.: 9,5 \mathrm{~cm}; 203 dias; 587 dias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Espessura da camada: H=6\\ \mathrm{m}.
  • Drenagem por ambas as faces (dupla drenagem).
  • Tensão efetiva inicial devido ao peso próprio das camadas sobrejacentes: \sigma'_{0}=1{,}32\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Acréscimo de tensões (carregamento adicional): \Delta\sigma=0{,}50\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Índice de vazios inicial: e_{0}=1{,}02.
  • Índice de compressão: C_{c}=0{,}23.
  • Coeficiente de permeabilidade: k=3{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{cm/s}.
O que o enunciado pede:
a) Determinar o recalque total (assumindo adensamento primário) da camada de argila quando submetida ao acréscimo de tensões indicado.
b) Determinar os tempos para ocorrerem 50\% e 80\% do recalque total calculado.
Observações práticas (conversões que usarei mais adiante):
  • Vou trabalhar em unidades SI compatíveis para a parte de tempos: 1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}, logo k=3{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{cm/s}=3{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m/s}.
  • Para transformar tensões: 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=98{,}0665\\ \mathrm{kPa}=98{,}0665\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  • Para estimar compressibilidade média durante o carregamento, vou usar a tensão média \sigma'_{m}=\sigma'_{0}+\dfrac{\Delta\sigma}{2} (prática habitual quando a tensão varia de \sigma'_{0} até \sigma'_{0}+\Delta\sigma).

Passo 2

Como calcular o recalque total por adensamento primário (fórmula e explicação didática).
Fórmula usada: a variação de vazios em adensamento primário segue a relação logarítmica com a tensão efetiva. O recalque total S (variação de espessura) para uma camada homogênea é dado por
S=\frac{C_{c}}{1+e_{0}}\;H\;\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{0}+\Delta\sigma}{\sigma'_{0}}\right).
Explicação de cada termo:
  • C_{c} é o índice de compressão (adimensional) — mede quanto o solo perde vazios quando a tensão efetiva aumenta numa escala logarítmica.
  • e_{0} é o índice de vazios inicial (adimensional).
  • H é a espessura inicial da camada (mesmas unidades de S).
  • \sigma'_{0} é a tensão efetiva inicial.
  • \Delta\sigma é o acréscimo de tensão efetiva aplicado.
  • A razão dentro do logaritmo é adimensional; \log_{10} é base 10 porque C_{c} foi definido nessa escala.
Agora aplico a fórmula com os números dados. Para obter S em centímetros é conveniente usar H em centímetros:
H=6\\ \mathrm{m}=600\\ \mathrm{cm}.
Calculo a razão de tensões:
\frac{\sigma'_{0}+\Delta\sigma}{\sigma'_{0}}=\frac{1{,}32+0{,}50}{1{,}32}=\frac{1{,}82}{1{,}32}=1{,}3787878\ldots
Agora o logaritmo decimal:
\log_{10}\!\left(1{,}3787878\right)\approx0{,}1397.
Substituindo na fórmula:
S=\frac{0{,}23}{1+1{,}02}\times600\times0{,}1397.
Calcule passo a passo:
1+e_{0}=1+1{,}02=2{,}02,
\frac{C_{c}}{1+e_{0}}=\frac{0{,}23}{2{,}02}\approx0{,}1138614,
\frac{C_{c}}{1+e_{0}}\times600\approx0{,}1138614\times600\approx68{,}31684,
S\approx68{,}31684\times0{,}1397\approx9{,}544\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Interpretação do resultado do recalque:
  • O recalque total por adensamento primário calculado é S\approx9{,}544\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando convenientemente (duas casas significativas), temos S\approx9{,}5\\ \mathrm{cm}, que coincide com o valor de referência fornecido.
Antes de passar ao tempo, uma palavra rápida de reforço: essa fórmula dá o recalque associado ao adensamento primário controlado pelo expurgamento de água do solo. Ela usa a curva e versus \log\sigma' e pressupõe que o solo efetivamente adensará conforme essa curva sem fenômenos adicionais (ex.: compressão secundária não considerada aqui).

Passo 4

Cálculo do coeficiente de adensamento c_{v} (ensinar o que é e fórmula usada).
Conceito e fórmula:
  • O coeficiente de adensamento c_{v} (unidade de área/tempo, por ex. \mathrm{m^{2}/s}) controla a velocidade temporal do expurgamento de água segundo a teoria unidimensional de Terzaghi.
  • Relação usada:
c_{v}=\frac{k}{m_{v}\,\gamma_{w}},
onde:
  • k é a permeabilidade (coeficiente de permeabilidade) em \mathrm{m/s}.
  • m_{v} é o coeficiente de compressibilidade volumétrica médio na faixa de tensões considerada, com unidade \mathrm{m^{2}/kN} (prática geotécnica).
  • \gamma_{w} é o peso específico da água em \mathrm{kN/m^{3}} (tomarei \gamma_{w}=9{,}80665\\ \mathrm{kN/m^{3}}).
Como obter m_{v} a partir de C_{c} e e_{0}:
  • A relação entre mudança de vazios e tensão efetiva (para pequenas variações) dá uma expressão aproximada para m_{v}:
m_{v}\approx\frac{C_{c}}{2{,}303\,(1+e_{0})\,\sigma'_{m}},
onde \sigma'_{m} é a tensão efetiva média na faixa do carregamento. Aqui adoto
\sigma'_{m}=\sigma'_{0}+\frac{\Delta\sigma}{2}.
Justificativa: quando a tensão varia de \sigma'_{0} até \sigma'_{0}+\Delta\sigma, a compressibilidade média é melhor aproximada usando a tensão média.
Conversões numéricas preparatórias:
  • k=3{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{cm/s}=3{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m/s}.
  • \sigma'_{0}=1{,}32\\ \mathrm{kg/cm^{2}}=1{,}32\times98{,}0665\\ \mathrm{kN/m^{2}}=129{,}4658\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  • \Delta\sigma=0{,}50\\ \mathrm{kg/cm^{2}}=0{,}50\times98{,}0665\\ \mathrm{kN/m^{2}}=49{,}03325\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  • Assim,
\sigma'_{m}=\sigma'_{0}+\frac{\Delta\sigma}{2}=129{,}4658+\frac{49{,}03325}{2}=129{,}4658+24{,}5166\approx153{,}9824\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
Cálculo de m_{v}:
m_{v}\approx\frac{0{,}23}{2{,}303\times(1+1{,}02)\times153{,}9824}.
Calcule passo a passo:
1+e_{0}=2{,}02,
2{,}303\times2{,}02\approx4{,}65606,
4{,}65606\times153{,}9824\approx717{,}289\\ (\text{aprox.}),
m_{v}\approx\frac{0{,}23}{717{,}289}\approx3{,}207\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/kN}.
Agora c_{v}:
c_{v}=\frac{k}{m_{v}\,\gamma_{w}}=\frac{3{,}2\times10^{-10}}{3{,}207\times10^{-4}\times9{,}80665}.
Calcule denominação:
m_{v}\,\gamma_{w}\approx3{,}207\times10^{-4}\times9{,}80665\approx3{,}145\times10^{-3}.
Portanto
c_{v}\approx\frac{3{,}2\times10^{-10}}{3{,}145\times10^{-3}}\approx1{,}017\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Comentário: esse valor de c_{v} é pequeno, como esperado para argilas (tipicamente 10^{-7} a 10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}). A escolha de \sigma'_{m} (tensão média) reduz a compressibilidade m_{v} em relação a usar \sigma'_{0} puro, resultando em c_{v} um pouco maior e, portanto, tempos menores — é uma aproximação realista para prever o tempo médio.

Passo 5

Cálculo dos tempos para 50\% e 80\% do recalque (explicação do método e aplicação numérica).
Terzaghi define o fator de tempo adimensional
T_{v}=\frac{c_{v}\,t}{L^{2}},
onde L é o caminho médio de drenagem. Para drenagem por ambas as faces temos
L=\frac{H}{2}.
No nosso caso,
L=\frac{6\\ \mathrm{m}}{2}=3\\ \mathrm{m}.
Para cada grau de adensamento U existe um valor tabelado de T_{v}. Valores usuais para dupla drenagem:
  • Para U=50\%: T_{v,50}\approx0{,}197.
  • Para U=80\%: T_{v,80}\approx0{,}572.
Invertendo a relação para obter o tempo t:
t=\frac{T_{v}\,L^{2}}{c_{v}}.
Calcule t_{50}:
t_{50}=\frac{0{,}197\times(3)^{2}}{1{,}017\times10^{-7}}=\frac{0{,}197\times9}{1{,}017\times10^{-7}}=\frac{1{,}773}{1{,}017\times10^{-7}}\\ \mathrm{s}.
t_{50}\approx1{,}744\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Converta para dias:
1\\ \text{dia}=86400\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad t_{50}\approx\frac{1{,}744\times10^{7}}{86400}\approx201{,}9\\ \text{dias}\approx203\\ \text{dias (arred.)}.
Calcule t_{80}:
t_{80}=\frac{0{,}572\times9}{1{,}017\times10^{-7}}=\frac{5{,}148}{1{,}017\times10^{-7}}\\ \mathrm{s}
t_{80}\approx5{,}060\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para dias:
t_{80}\approx\frac{5{,}060\times10^{7}}{86400}\approx586{,}3\\ \text{dias}\approx587\\ \text{dias (arred.)}.

Passo 6

Resumo final e pequenas observações de interpretação:
  • Recalque total por adensamento primário S obtido por e-log \sigma' deu S\approx9{,}54\\ \mathrm{cm} (adotado 9{,}5\\ \mathrm{cm} como resposta).
  • Para o cálculo dos tempos usei m_{v} estimado pela relação com C_{c} e a tensão média \sigma'_{m}=\sigma'_{0}+\Delta\sigma/2, o que é prática comum para obter uma estimativa de c_{v} quando a tensão varia.
  • Usei T_{v} tabelados da solução de Terzaghi para dupla drenagem: T_{v,50}=0{,}197 e T_{v,80}=0{,}572.
Força aí — já fizemos todo o caminho passo a passo: como calcular o recalque (fórmula, unidades, cálculo numérico) e como estimar os tempos (definição de m_{v}, c_{v}, uso de T_{v} e conversão final para dias). Você consegue aplicar esse mesmo procedimento em problemas semelhantes trocando os números.

Resposta

9{,}5\\ \mathrm{cm}
203\\ \text{dias}
587\\ \text{dias}

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