1. O indice de vazios de uma amostra A de argila diminuiu de 0,572 a 0,505 sob uma variaçâo de pressâo de 1,2 a 1,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm} 2. Para uma amostra B , também de argila e nas mesmas condições, o indice de vazios variou de 0,612 a 0,597 sob a mesma variação de pressào que para a amostra A . A espessura da amostra A era de 1,5 vezes a espessura da amostra B e o tempo requerido para atingir 50 \% de adensamentos foi três vezes maior para a amostra B que para a A . Qual é a razão entre os coeficientes de permeabilidade de A e da B ?
    Resp.: \mathrm{k}_{\mathrm{A}} / \mathrm{k}_{\mathrm{B}}=0,31

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de argila, A e B, e pede a razão entre os coeficientes de permeabilidade k_A/k_B. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Índice de vazios da amostra A: passou de e_{A1}=0,572 para e_{A2}=0,505. Logo \Delta e_A = 0,067.
  • Índice de vazios da amostra B: passou de e_{B1}=0,612 para e_{B2}=0,597. Logo \Delta e_B = 0,015.
  • Variação de pressão (mesma para ambas): de 1,2 para 1,8\\ \mathrm{kg/cm^2}. Logo \Delta\sigma = 0,6\\ \mathrm{kg/cm^2} (essa mesma variação aparece nas fórmulas, mas ela cancela nas razões).
  • Espessura: a amostra A tem espessura H_A = 1{,}5\,H_B.
  • Tempo para atingir 50\% de adensamento: foi 3 vezes maior para B que para A. Logo t_B = 3\,t_A.
    O que é pedido: calcular \dfrac{k_A}{k_B}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  1. Tempo para um dado grau de adensamento (Terzaghi, 1D) está relacionado ao coeficiente de consolidação c_v por
t = T_v\,\frac{H^2}{c_v},
onde:
  • t é o tempo requerido para alcançar um certo grau de adensamento (aqui 50 %);
  • T_v é o fator adimensional de tempo correspondente a esse grau (para 50% é o mesmo valor para ambas as amostras se as condições de drenagem forem as mesmas);
  • H é o caminho de drenagem (aqui usamos a razão entre espessuras; se ambas têm o mesmo tipo de drenagem, o fator geométrico entra como H^2);
  • c_v é o coeficiente de consolidação (m^2/s).
    Dessa relação isolamos c_v:
c_v = T_v\,\frac{H^2}{t}.
Como T_v é o mesmo para ambos (mesmo grau de adensamento, mesmas condições de drenagem assumidas), a razão dos c_v fica
\frac{c_{vA}}{c_{vB}} = \frac{H_A^2/t_A}{H_B^2/t_B} = \left(\frac{H_A}{H_B}\right)^2\frac{t_B}{t_A}.
  1. Relação entre coeficiente de consolidação c_v, permeabilidade k e coeficiente de compressibilidade volumétrica a_v (ou m_v, dependendo da notação). A forma padrão é
c_v = \frac{k}{\gamma_w\,a_v},
onde:
  • k é a permeabilidade;
  • \gamma_w é o peso específico da água (mesmo para ambas, então vai cancelar nas razões);
  • a_v (coeficiente de compressibilidade volumétrica) é dado por
a_v = \frac{\Delta\varepsilon_v}{\Delta\sigma} = \frac{\Delta e}{(1+e)\,\Delta\sigma},
pois a deformação volumétrica vertical \Delta\varepsilon_v = \Delta V/V = \Delta e/(1+e).
Reescrevendo para k:
k = c_v\,\gamma_w\,a_v.
Daí, a razão procurada é
\frac{k_A}{k_B} = \frac{c_{vA}}{c_{vB}}\cdot\frac{a_{vA}}{a_{vB}}.
Observação: \gamma_w cancela porque é a mesma água nas duas amostras.

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{c_{vA}}{c_{vB}} usando os dados de espessura e tempo:
  • \dfrac{H_A}{H_B}=1{,}5 então \left(\dfrac{H_A}{H_B}\right)^2=1{,}5^2=2{,}25.
  • t_B/t_A=3 (dado).
    Logo
\frac{c_{vA}}{c_{vB}} = 2{,}25\times 3 = 6{,}75.

Passo 4

Calcular os coeficientes de compressibilidade volumétrica a_{v} (proporcionais a \dfrac{\Delta e}{1+e}, o \Delta\sigma cancela nas razões):
  • Para A:
\frac{\Delta e_A}{1+e_{A1}} = \frac{0,067}{1+0,572} = \frac{0,067}{1,572}\approx 0{,}04261.
  • Para B:
\frac{\Delta e_B}{1+e_{B1}} = \frac{0,015}{1+0,612} = \frac{0,015}{1,612}\approx 0{,}009306.
Portanto a razão
\frac{a_{vA}}{a_{vB}} = \frac{0{,}04261}{0{,}009306}\approx 4{,}579.
(Explicação rápida: a_v mede quanto o volume relativo varia por unidade de tensão; usamos as variações de índice de vazios fornecidas e normalizamos por 1+e para passar de \Delta e para deformação volumétrica.)

Passo 5

Agora combinamos as duas razões para obter k_A/k_B:
\frac{k_A}{k_B} = \frac{c_{vA}}{c_{vB}}\cdot\frac{a_{vA}}{a_{vB}} = 6{,}75 \times 4{,}579 \approx 30{,}90.
Portanto, usando as fórmulas padrão de consolidação e as variações de índice de vazios dadas, obtemos
\frac{k_A}{k_B}\approx 30{,}9.

Passo 6

Interpretação curta (motivacional): isso significa que, pelas informações dadas (A adensou muito mais por unidade de tensão e consolida muito mais rápido que B, apesar de ser mais espessa), a permeabilidade efetiva calculada para A resulta muito maior que a de B. Sei que o resultado parece grande — é justamente por causa da combinação de c_v muito maior e maior compressibilidade volumétrica em A.

Resposta

\dfrac{k_{A}}{k_{B}}\approx 30{,}9

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