1. Em um caminhamento ABCDE foram lidos o azimute inicial do alinhamento \overline{\mathrm{AB}}, 158^{\circ} 30^{\prime}; e os ângulos entre alinhamentos \mathrm{ABC}=120^{\circ} 55^{\prime} ; \mathrm{B} \widehat{\mathrm{CD}}=147^{\circ} 30^{\prime} e \mathrm{C} \widehat{\mathrm{DE}}=81^{\circ} 40^{\prime}. Registrouse também, a extensão de cada alinhamento: \overline{\mathrm{AB}}=53,10 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{BC}}=60,80 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{CD}}=76,05 \mathrm{me} \overline{\mathrm{DE}}=63,00 \mathrm{~m}. Adotar, para a Estação A, as seguintes coordenadas retangulares absolutas: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=\mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=10.0000,00 \mathrm{~m}.

Passo 1

Temos um caminhamento aberto em ABCDE com dados:
– Azimute inicial de \overline{AB}:
\alpha_{AB}=158^\circ30'
– Ângulos internos no vértice B, C e D:
\angle ABC=120^\circ55',\quad \angle B\widehat{C}D=147^\circ30',\quad \angle C\widehat{D}E=81^\circ40'
– Comprimentos:
AB=53,10\;\mathrm{m},\;BC=60,80\;\mathrm{m},\;CD=76,05\;\mathrm{m},\;DE=63,00\;\mathrm{m}
– Coordenadas de A:
X_A=10000,00\;\mathrm{m},\quad Y_A=10000,00\;\mathrm{m}
Objetivo: determinar as coordenadas \,(X,Y) de B, C, D e E.

Passo 2

Calcular os azimutes sucessivos usando
\alpha_{\text{próx}}=\alpha_{\text{ant}}+180^\circ-\text{ângulo interno}óâ
Aplicando:
\alpha_{BC}=158^\circ30'+180^\circ-120^\circ55'=217^\circ35'
\alpha_{CD}=217^\circ35'+180^\circ-147^\circ30'=250^\circ05'
\alpha_{DE}=250^\circ05'+180^\circ-81^\circ40'=348^\circ25'

Passo 3

Para cada alinhamento calculamos as projeções Norte ( \Delta N) e Leste ( \Delta E) por
\Delta N=L\cos\alpha,\quad \Delta E=L\sin\alpha
onde \alpha é o azimute contado a partir do Norte no sentido horário.

Passo 4

Acumular as coordenadas a partir de A:
De A a B ( \alpha_{AB}=158^\circ30', L=53,10)
\Delta E_{AB}=53,10\sin158^\circ30'=19,46\;\mathrm{m},\quad \Delta N_{AB}=53,10\cos158^\circ30'=-49,38\;\mathrm{m}
X_B=10000,00+19,46=10019,46\;\mathrm{m},\quad Y_B=10000,00-49,38=9950,62\;\mathrm{m}
De B a C ( \alpha_{BC}=217^\circ35', L=60,80)
\Delta E_{BC}=60,80\sin217^\circ35'=-37,06\;\mathrm{m},\quad \Delta N_{BC}=60,80\cos217^\circ35'=-48,21\;\mathrm{m}
X_C=10019,46-37,06=9982,40\;\mathrm{m},\quad Y_C=9950,62-48,21=9902,41\;\mathrm{m}
De C a D ( \alpha_{CD}=250^\circ05', L=76,05)
\Delta E_{CD}=76,05\sin250^\circ05'=-71,68\;\mathrm{m},\quad \Delta N_{CD}=76,05\cos250^\circ05'=-25,43\;\mathrm{m}
X_D=9982,40-71,68=9910,72\;\mathrm{m},\quad Y_D=9902,41-25,43=9876,98\;\mathrm{m}
De D a E ( \alpha_{DE}=348^\circ25', L=63,00)
\Delta E_{DE}=63,00\sin348^\circ25'=-12,71\;\mathrm{m},\quad \Delta N_{DE}=63,00\cos348^\circ25'=61,73\;\mathrm{m}
X_E=9910,72-12,71=9898,01\;\mathrm{m},\quad Y_E=9876,98+61,73=9938,71\;\mathrm{m}

Resposta

B: X_B=10019,46\;\mathrm{m},\;Y_B=9950,62\;\mathrm{m}
C: X_C=9982,40\;\mathrm{m},\;Y_C=9902,41\;\mathrm{m}
D: X_D=9910,72\;\mathrm{m},\;Y_D=9876,98\;\mathrm{m}
E: X_E=9898,01\;\mathrm{m},\;Y_E=9938,71\;\mathrm{m}

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