Um campeonato de luta dura 75 horas. (Aqui, por uma hora entendemos um período que começa em uma hora exata, como 13h, e vai até a próxima hora.) O lutador teve pelo menos uma competição por hora, mas não mais que um total de 125 competições. Mostre que há um período de horas consecutivas em que o lutador teve exatamente 24 competições.
Passo 1
Resumindo o enunciado: o campeonato tem
horas, e no
-ésimo período houve
lutas, com
Queremos mostrar que existe um intervalo de horas consecutivas cuja soma dos
seja exatamente
. Usaremos somas parciais e o princípio da gaveta.
Passo 2
Definimos as somas parciais
para
, tomando
. Como
a sequência
é estritamente crescente. Além disso,
Passo 3
Considere os dois conjuntos de inteiros
Cada um deles tem
elementos. Os valores de
estão no intervalo
e os de
em
. Logo
que contém
inteiros distintos. Como
, pelo princípio da gaveta há pelo menos um inteiro
Isto significa que existem índices
tais que
ou seja,
Passo 4
Da estrita monotonia de
segue
. Portanto,
Isto mostra que o bloco de horas de
até
tem exatamente
competições.
Resposta
Existe um período de horas consecutivas (da hora
até a hora
) em que o lutador fez exatamente
competições.