Um campeonato de luta dura 75 horas. (Aqui, por uma hora entendemos um período que começa em uma hora exata, como 13h, e vai até a próxima hora.) O lutador teve pelo menos uma competição por hora, mas não mais que um total de 125 competições. Mostre que há um período de horas consecutivas em que o lutador teve exatamente 24 competições.

Passo 1

Resumindo o enunciado: o campeonato tem 75 horas, e no i-ésimo período houve a_i lutas, com
a_i \ge 1 \quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{75}a_i \le 125.
Queremos mostrar que existe um intervalo de horas consecutivas cuja soma dos a_i seja exatamente 24. Usaremos somas parciais e o princípio da gaveta.

Passo 2

Definimos as somas parciais
S_k = \sum_{i=1}^k a_i,
para k=0,1,\dots,75, tomando S_0=0. Como
S_k - S_{k-1} = a_k \ge 1,
a sequência \bigl(S_k\bigr) é estritamente crescente. Além disso,
0 = S_0 < S_1 < S_2 < \cdots < S_{75} \le 125.

Passo 3

Considere os dois conjuntos de inteiros
A = \{\,S_k : 0\le k\le75\},
B = \{\,S_k + 24 : 0\le k\le75\}.
Cada um deles tem 76 elementos. Os valores de A estão no intervalo [0,125] e os de B em [24,149]. Logo
A\cup B \subseteq \{0,1,2,\dots,149\},
que contém 150 inteiros distintos. Como 76+76=152>150, pelo princípio da gaveta há pelo menos um inteiro
x\in A\cap B.
Isto significa que existem índices i,j tais que
x = S_i \quad\text{e}\quad x = S_j + 24,
ou seja,
S_i = S_j + 24.

Passo 4

Da estrita monotonia de \bigl(S_k\bigr) segue i>j. Portanto,
S_i - S_j = \sum_{t=j+1}^i a_t = 24.
Isto mostra que o bloco de horas de j+1 até i tem exatamente 24 competições.

Resposta

Existe um período de horas consecutivas (da hora j+1 até a hora i) em que o lutador fez exatamente 24 competições.

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