Um campo de velocidade é dado por
, onde
e
. As coordenadas x e y são em metros. Obtenha uma expressão para a linha de corrente. Plote algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de velocidade
, com
e
. As coordenadas
e
estão em metros. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a linha de corrente e plotar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo de fluidos e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são trajetórias que mostram a direção e o caminho que uma partícula de fluido seguiria em um campo de velocidade. Para encontrar a equação dessas linhas, usamos a relação entre as componentes da velocidade:
.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Portanto, a relação fica:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para poder integrar. Rearranjando a equação:
Isso nos permite integrar os lados separados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
E do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 7
Isolando
:
Tomando o inverso:
E finalmente:
Passo 8
Então, a expressão para as linhas de corrente é:
Onde
é uma constante que determina diferentes linhas de corrente.
Resposta
A expressão para a linha de corrente é:
Para plotar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, basta escolher diferentes valores de
e traçar as correspondentes curvas dessa equação.