2(1,0) - Um campo de velocidade é dado por \vec{V}=\left(a x y,-b y^{2}\right). As unidades de velocidade sâo m \cdot s^{-1}, x e y săo dados em m, a=2 s^{-1} \cdot m^{-1} e b=1 s^{-1} \cdot m^{-1}. Obtenha a equaçăo da linha de corrente que passa pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede a linha de corrente que passa por um ponto específico. Informações fornecidas:
  • Campo de velocidade: \vec{V}=(V_x,V_y)=\bigl(a x y,\,-b y^{2}\bigr).
  • Unidades: velocidades em \mathrm{m\cdot s^{-1}}, x e y em \mathrm{m}.
  • Constantes: a=2\\ \mathrm{s^{-1}\cdot m^{-1}} e b=1\\ \mathrm{s^{-1}\cdot m^{-1}}.
  • Ponto inicial (pertencente à linha de corrente procurada): \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,2\right).
O que é pedido:
  • Obter a equação da linha de corrente (a curva cujas tangentes coincidem com o campo de velocidade em cada ponto) que passa por \left(1,2\right).

Passo 2

Conceito fundamental (explicação): o que é uma linha de corrente num escoamento estacionário?
  • Para um campo de velocidade estacionário (não dependente de tempo), uma linha de corrente é uma curva y(x) tal que, em cada ponto, a direção da tangente da curva coincide com a direção do vetor velocidade.
  • Em termos diferenciais, isso significa que a inclinação da curva é a razão entre as componentes da velocidade:
\frac{dy}{dx}=\frac{V_y}{V_x}.
Aqui V_x é a componente horizontal do campo e V_y a componente vertical.

Passo 3

Aplicando a definição ao campo dado. Primeiro escrevo as componentes explicitamente:
V_x=a x y,\qquad V_y=-b y^{2}.
Então a equação diferencial da linha de corrente é
\frac{dy}{dx}=\frac{-b y^{2}}{a x y}.
Agora simplifico a expressão cancelando um fator y (observação: o caso y=0 dá uma linha de corrente trivial y\equiv0; aqui trabalhamos com a curva que passa por y_0=2\neq0, então o cancelamento é válido):
\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\,\frac{y}{x}.

Passo 4

Interpretando a equação diferencial obtida: ela é uma equação separável (ou também linear de primeira ordem homogeneizada). Vou separar variáveis para integrar:
\frac{1}{y}\,dy=-\frac{b}{a}\,\frac{1}{x}\,dx.
Explicando a ideia: “separável” significa que é possível colocar todos os termos com y em um lado e todos os termos com x no outro, permitindo integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 5

Integro ambos os lados. A primitiva de 1/y é \ln|y| e a de 1/x é \ln|x|. Logo,
\int \frac{1}{y}\,dy=\int -\frac{b}{a}\,\frac{1}{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-\frac{b}{a}\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Posso reescrever de forma exponencial para obter uma forma mais explícita:
\ln|y|=\ln\bigl(|x|^{-b/a}\bigr)+C \quad\Rightarrow\quad |y|=C'\,|x|^{-b/a},
onde C'=e^{C}>0. Como o ponto inicial tem x_0=1>0 e y_0=2>0, posso remover os valores absolutos na vizinhança considerada e trabalhar com
y=C'\,x^{-b/a}.

Passo 6

Agora uso os valores numéricos de a e b. Com a=2 e b=1 temos
\frac{b}{a}=\frac{1}{2}.
Portanto a família de linhas de corrente é
y=C'\,x^{-1/2}.
Determino C' impondo o ponto inicial \left(1,2\right):
2=C'\cdot 1^{-1/2}=C'\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C'=2.

Passo 7

Concluo que a linha de corrente que passa por \left(1,2\right) é dada explicitamente por
y=2\,x^{-1/2}.
Posso também escrever a mesma curva na forma equivalente
y=\frac{2}{\sqrt{x}},
válida para x>0 (compatível com o ponto inicial).

Resposta

y=\dfrac{2}{\sqrt{x}}

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