- Um campo de velocidade é dado por
. As unidades de velocidade sâo
e
săo dados em
e
. Obtenha a equaçăo da linha de corrente que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede a linha de corrente que passa por um ponto específico. Informações fornecidas:
- Campo de velocidade:
. - Unidades: velocidades em
, e em . - Constantes:
e . - Ponto inicial (pertencente à linha de corrente procurada):
.
O que é pedido:
- Obter a equação da linha de corrente (a curva cujas tangentes coincidem com o campo de velocidade em cada ponto) que passa por
.
Passo 2
Conceito fundamental (explicação): o que é uma linha de corrente num escoamento estacionário?
- Para um campo de velocidade estacionário (não dependente de tempo), uma linha de corrente é uma curva
tal que, em cada ponto, a direção da tangente da curva coincide com a direção do vetor velocidade. - Em termos diferenciais, isso significa que a inclinação da curva é a razão entre as componentes da velocidade:
Aqui
é a componente horizontal do campo e
a componente vertical.
Passo 3
Aplicando a definição ao campo dado. Primeiro escrevo as componentes explicitamente:
Então a equação diferencial da linha de corrente é
Agora simplifico a expressão cancelando um fator
(observação: o caso
dá uma linha de corrente trivial
; aqui trabalhamos com a curva que passa por
, então o cancelamento é válido):
Passo 4
Interpretando a equação diferencial obtida: ela é uma equação separável (ou também linear de primeira ordem homogeneizada). Vou separar variáveis para integrar:
Explicando a ideia: “separável” significa que é possível colocar todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro, permitindo integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 5
Integro ambos os lados. A primitiva de
é
e a de
é
. Logo,
onde
é a constante de integração. Posso reescrever de forma exponencial para obter uma forma mais explícita:
onde
. Como o ponto inicial tem
e
, posso remover os valores absolutos na vizinhança considerada e trabalhar com
Passo 6
Agora uso os valores numéricos de
e
. Com
e
temos
Portanto a família de linhas de corrente é
Determino
impondo o ponto inicial
:
Passo 7
Concluo que a linha de corrente que passa por
é dada explicitamente por
Posso também escrever a mesma curva na forma equivalente
válida para
(compatível com o ponto inicial).