Um campo vetorial
é dado por
. Encontre a função potencial do campo
, isto é, encontre a função tipo escalar
definida no domínio de
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função potencial
para o campo vetorial
. Isso significa que precisamos achar uma função escalar
tal que o gradiente dela
seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma função
é potencial para o campo
, então as derivadas parciais de
devem satisfazer:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, qualquer termo que dependa somente de
aparece como constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Mas observe que
depende apenas de
, enquanto os outros termos envolvem
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
e
, os termos dependentes de
devem se anular, ou seja:
Isso só é válido para
ou
, mas queremos que a igualdade seja verdadeira para qualquer
.
Passo 4
Como a igualdade só funciona para valores específicos de
, isso significa que não existe uma função
que satisfaça a equação para todos os
e
. Portanto, o campo vetorial
não é conservativo.
Passo 5
Um campo vetorial que não é conservativo não possui uma função potencial. Ou seja, não existe uma função escalar
tal que
para todo ponto no domínio.
Resposta
Não existe uma função potencial
para o campo vetorial
dado, pois
não é conservativo.