Uma canalização de ferro fundido novo, com 250 mm de diâmetro é alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 220 . Calcular a pressão no ponto de cota 180, a 1500 m do reservatório, para a vazão de 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. (Usar Hazen-Williams; C = 130).
\boldsymbol{(} \mathbf{p} \boldsymbol{=} \mathbf{3 5 6 , 5 ~ k P a} \boldsymbol{)}

Passo 1

O enunciado pede a pressão no ponto localizado na cota 180, que fica a 1500\\ \mathrm{m} do reservatório cujo nível livre está na cota 220. Os dados fornecidos são:
  • diâmetro da tubulação: D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m};
  • vazão: Q=40\\ \mathrm{L/s}=0{,}040\\ \mathrm{m^3/s};
  • comprimento entre reservatório e ponto: L=1500\\ \mathrm{m};
  • nível do reservatório: z_1=220;
  • nível do ponto: z_2=180;
  • coeficiente de Hazen–Williams: C=130.
O que se pede: calcular a pressão no ponto (pressão gauge, isto é, acima da atmosférica) para a vazão dada, usando Hazen–Williams.

Passo 2

Plano de ação (resumido):
  1. calcular a perda de carga por atrito na tubulação entre reservatório e o ponto usando a fórmula de Hazen–Williams;
  2. calcular a velocidade do escoamento e, se desejar, a cabeça de velocidade;
  3. aplicar a equação da energia (Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o ponto na tubulação) para obter a pressão no ponto.
Antes de calcular, apresento a fórmula de Hazen–Williams (forma usual em unidades SI):
h_f = 10{,}67\; \frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}870}}
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito, em metros de coluna d’água ( \mathrm{m});
  • L é o comprimento da tubulação em metros ( \mathrm{m});
  • Q é a vazão em \mathrm{m^3/s};
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);
  • D é o diâmetro interno da tubulação em metros ( \mathrm{m}).
Explicação didática rápida da fórmula: é uma expressão empírica que relaciona a perda de carga com a vazão (não-linear), o diâmetro (forte influência) e a rugosidade via C. O expoente 1{,}852 em Q e 4{,}870 em D são resultados empíricos.

Passo 3

Calcular área da seção, velocidade média e cabeça de velocidade (para ver se é relevante):
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}250)^2}{4}.
Calculemos:
A = \frac{\pi \cdot 0{,}0625}{4} = \pi \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}04909\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}040}{0{,}04909}\approx 0{,}815\\ \mathrm{m/s}.
Cabeça de velocidade:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(0{,}815)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}0339\\ \mathrm{m}.
Observação: a cabeça de velocidade é muito pequena (cerca de 0{,}034\\ \mathrm{m}), portanto tem efeito irrelevante na pressão final, mas vamos considerá-la corretamente na equação de energia.

Passo 4

Calcular a perda de carga por Hazen–Williams passo a passo. Primeiro compute Q^{1{,}852}, C^{1{,}852} e D^{4{,}870}.
Q^{1{,}852}=(0{,}040)^{1{,}852}\approx 0{,}00258.
C^{1{,}852}=(130)^{1{,}852}\approx 8{,}22\times 10^{3}.
D^{4{,}870}=(0{,}250)^{4{,}870}\approx 1{,}17\times 10^{-3}.
Agora aplique a fórmula:
h_f = 10{,}67\; \frac{1500\cdot 0{,}00258}{(8{,}22\times10^{3})\cdot(1{,}17\times10^{-3})}.
Calcule o denominador e o numerador intermediários:
\text{denom} = (8{,}22\times10^{3})\cdot(1{,}17\times10^{-3})\approx 9{,}62, \qquad \text{num} = 1500\cdot 0{,}00258 \approx 3{,}87.
Portanto
h_f \approx 10{,}67\cdot\frac{3{,}87}{9{,}62} \approx 10{,}67\cdot 0{,}402 \approx 4{,}30\\ \mathrm{m}.
Conclusão: a perda de carga por atrito entre o reservatório e o ponto é aproximadamente h_f\approx 4{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar a equação da energia entre superfície livre do reservatório (ponto 1) e o ponto na tubulação (ponto 2). Tomando a referência de pressão atmosférica como zero (ou seja, queremos a pressão gauge no ponto 2):
\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{v_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{v_2^2}{2g}+h_f,
onde \gamma=\rho g é o peso específico da água. Para a superfície livre do reservatório vale p_1= pressão atmosférica (tomada como referência zero gauge) e v_1\approx 0. Rearranjando para p_2 (pressão gauge) obtemos:
p_{2,\text{gauge}}=\rho g\Big(z_1-z_2-h_f-\frac{v_2^2}{2g}\Big).
Substituindo números ( \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, z_1-z_2=40\\ \mathrm{m}, h_f=4{,}30\\ \mathrm{m}, \dfrac{v_2^2}{2g}=0{,}0339\\ \mathrm{m}):
p_{2,\text{gauge}}=1000\cdot 9{,}81\cdot\big(40-4{,}30-0{,}0339\big)\\ \mathrm{Pa}.
Calcule a cabeça efetiva:
40-4{,}30-0{,}0339 \approx 35{,}6661\\ \mathrm{m}.
Logo
p_{2,\text{gauge}}\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 35{,}6661 \approx 349{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kilopascal:
p_{2,\text{gauge}}\approx 349{,}9\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação e observações finais: com a fórmula de Hazen–Williams na forma usual em SI obteve-se h_f\approx 4{,}30\\ \mathrm{m} e, aplicando a equação da energia, a pressão no ponto (acima da atmosférica) resulta aproximadamente 350{,}0\\ \mathrm{kPa}. Pequenas diferenças numéricas (por exemplo, outros autores/usos práticos usam constantes ligeiramente diferentes na forma empírica de Hazen–Williams) podem levar a valores um pouco distintos (por exemplo 356{,}5\\ \mathrm{kPa} se for usada uma constante empírica levemente diferente). A ordem de grandeza e o procedimento correto é este.

Resposta

p \approx 350{,}0\\ \mathrm{kPa} (pressão gauge)

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