Um capacitor de capacitância
possui carga
e é carregado através de uma bobina de indutância L. Despreze a resistência neste circuito
. Estimar: (a) a energia elétrica instantânea, (b) a energia magnética instantânea, © a energia elétrica média, (d) a energia magnética média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito LC, que é composto por um capacitor com capacitância
e uma bobina com indutância
. A carga máxima no capacitor é
. A gente vai precisar entender como a energia elétrica e magnética se comportam nesse sistema sem considerar a resistência. Vamos estimar quatro coisas: a energia elétrica instantânea, a energia magnética instantânea, e as médias de cada uma dessas energias ao longo do tempo.
Passo 2
(a) Energia elétrica instantânea
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada num capacitor é dada por:
Aqui,
é a carga no capacitor no instante considerado. No circuito LC, a carga varia com o tempo de forma senoidal, então podemos escrever:
Onde
é a frequência angular do sistema, dada por:
Substituindo
na expressão da energia elétrica:
Passo 3
(b) Energia magnética instantânea
A energia armazenada na bobina (indutor) é:
A corrente
no circuito LC também varia com o tempo e está relacionada à derivada da carga:
Substituindo
na expressão da energia magnética:
Como
, a expressão fica:
Passo 4
© Energia elétrica média
Para encontrar a energia elétrica média ao longo do tempo, calculamos a média de
, que é
:
Passo 5
(d) Energia magnética média
Similarmente, para a energia magnética média, calculamos a média de
, que também é
:
Resposta
(a) A energia elétrica instantânea é
.
(b) A energia magnética instantânea é
.
© A energia elétrica média é
.
(d) A energia magnética média é
.