Um capacitor carregado descarrega através de um resistor. Determine o tempo necessário para a carga cair para 25 \% do valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para a carga de um capacitor descarregar até 25\% do valor inicial. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Valor inicial da carga: Q_0.
  • Valor desejado da carga: Q(t)=0{,}25\,Q_0.
  • Componentes do circuito: um resistor de resistência R e um capacitor de capacitância C (valores gerais; a resposta ficará em função de R e C).
  • Objetivo: achar o tempo t tal que a carga no capacitor tenha caído para 25\% de Q_0.

Passo 2

Vamos modelar matematicamente a descarga do capacitor passo a passo, explicando cada coisa como se estivéssemos na prova.
  1. Relação entre corrente e carga: a corrente elétrica i(t) que passa pelo circuito é a taxa de variação da carga no capacitor. Por convenção positiva,
i(t)=\frac{dQ}{dt}.
  1. Lei de Kirchhoff para o circuito (fechamento do circuito resistor + capacitor): a soma das quedas de tensão é zero. A queda no resistor é v_R(t)=i(t)R e a tensão no capacitor é v_C(t)=\dfrac{Q(t)}{C}. Assim:
i(t)R+\frac{Q(t)}{C}=0.
  1. Substituindo i(t)=\dfrac{dQ}{dt} na equação acima obtemos a equação diferencial que governa a descarga:
\frac{dQ}{dt}R+\frac{Q}{C}=0.
Dividindo por R:
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,Q=0.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • Q(t): carga no capacitor no instante t.
  • R: resistência elétrica em ohms.
  • C: capacitância em farads.
  • RC: produto R vezes C tem dimensão de tempo; é chamado constante de tempo (anotada frequentemente por \tau): \tau=RC.

Passo 3

Resolver a equação diferencial é simples porque é separável / linear de primeira ordem homogênea.
Escrevemos de forma separável:
\frac{dQ}{Q} = -\frac{dt}{RC}.
Agora integramos ambos os lados. Integrando de t=0 (onde Q(0)=Q_0) até tempo t (onde Q(t) é a carga correspondente):
\int_{Q_0}^{Q(t)}\frac{dQ'}{Q'} = -\int_{0}^{t}\frac{dt'}{RC}.
As integrais dão:
\ln\!\left(\frac{Q(t)}{Q_0}\right) = -\frac{t}{RC}.
Exponenciando ambos os lados obtemos a solução conhecida:
Q(t)=Q_0\,\exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right).
Comentário didático rápido: essa é a forma padrão de decaimento exponencial. O fator \exp(-t/RC) determina quanto da carga inicial resta após tempo t. Em particular, após t=RC (uma constante de tempo) o fator é e^{-1}\approx0{,}3679, então resta cerca de 36{,}8\% da carga inicial.

Passo 4

Agora aplicamos a condição do enunciado: queremos Q(t)=0{,}25\,Q_0. Substituindo na expressão de Q(t):
0{,}25\,Q_0 = Q_0\,\exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right).
Dividindo por Q_0 (não nulo):
0{,}25 = \exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right).
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln(0{,}25) = -\frac{t}{RC}.
Como 0{,}25=\dfrac{1}{4} e \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\ln 4, temos
-\ln 4 = -\frac{t}{RC}.
Cancelando sinais negativos:
\frac{t}{RC} = \ln 4.
Portanto
t = RC\,\ln 4.
Propriedades úteis usadas aqui: \ln(a^b)=b\ln a, então \ln 4 = \ln(2^2)=2\ln 2. Numericamente \ln 4\approx 1{,}38629, então t\approx 1{,}38629\,RC.
Intuição final (rápida e motivadora): isso significa que depois de aproximadamente 1{,}386 vezes a constante de tempo \tau=RC a carga caiu para 25\%. Se você lembrar que em t=\tau a carga fica em 36{,}8\%, pedir 25\% exige um pouco mais que uma constante de tempo — faz sentido.

Passo 5

Resumo prático para a prova: memorize a forma de decaimento Q(t)=Q_0 e^{-t/(RC)}. Para um percentual p da carga inicial ( Q(t)=pQ_0) a fórmula inversa é
t = -RC\,\ln p.
No caso p=0{,}25 obtemos t=RC\ln 4. Vai dar tudo certo — respira, você consegue!

Resposta

t = R C \ln 4 \approx 1{,}38629\,R C