Um capacitor carregado descarrega através de um resistor. Determine o tempo necessário para a carga cair para
do valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para a carga de um capacitor descarregar até
do valor inicial. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Valor inicial da carga:
. - Valor desejado da carga:
. - Componentes do circuito: um resistor de resistência
e um capacitor de capacitância (valores gerais; a resposta ficará em função de e ). - Objetivo: achar o tempo
tal que a carga no capacitor tenha caído para de .
Passo 2
Vamos modelar matematicamente a descarga do capacitor passo a passo, explicando cada coisa como se estivéssemos na prova.
- Relação entre corrente e carga: a corrente elétrica
que passa pelo circuito é a taxa de variação da carga no capacitor. Por convenção positiva,
- Lei de Kirchhoff para o circuito (fechamento do circuito resistor + capacitor): a soma das quedas de tensão é zero. A queda no resistor é
e a tensão no capacitor é . Assim:
- Substituindo
na equação acima obtemos a equação diferencial que governa a descarga:
Dividindo por
:
Explicação do que cada símbolo significa:
-
: carga no capacitor no instante . -
: resistência elétrica em ohms. -
: capacitância em farads. -
: produto vezes tem dimensão de tempo; é chamado constante de tempo (anotada frequentemente por ): .
Passo 3
Resolver a equação diferencial é simples porque é separável / linear de primeira ordem homogênea.
Escrevemos de forma separável:
Agora integramos ambos os lados. Integrando de
(onde
) até tempo
(onde
é a carga correspondente):
As integrais dão:
Exponenciando ambos os lados obtemos a solução conhecida:
Comentário didático rápido: essa é a forma padrão de decaimento exponencial. O fator
determina quanto da carga inicial resta após tempo
. Em particular, após
(uma constante de tempo) o fator é
, então resta cerca de
da carga inicial.
Passo 4
Agora aplicamos a condição do enunciado: queremos
. Substituindo na expressão de
:
Dividindo por
(não nulo):
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Como
e
, temos
Cancelando sinais negativos:
Portanto
Propriedades úteis usadas aqui:
, então
. Numericamente
, então
.
Intuição final (rápida e motivadora): isso significa que depois de aproximadamente
vezes a constante de tempo
a carga caiu para
. Se você lembrar que em
a carga fica em
, pedir
exige um pouco mais que uma constante de tempo — faz sentido.
Passo 5
Resumo prático para a prova: memorize a forma de decaimento
. Para um percentual
da carga inicial (
) a fórmula inversa é
No caso
obtemos
. Vai dar tudo certo — respira, você consegue!