Um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância C é 13,5 pF, é carregado por uma bateria até uma diferença de potencial de 12,5 V entre as placas. A bateria que está carregando o capacitor agora é desconectada e uma placa grossa de porcelana ( kappa=6,5 ) é introduzida entre as placas. Qual a energia potencial do dispositivo capacitor-placa de porcelana, tanto antes quanto depois da placa de porcelana ter sido colocada no lugar?
R: Ui=1055 p J e Uf=162 p J

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um capacitor de placas paralelas com uma capacitância de $ C = 13,5 , pF $ que é carregado até uma diferença de potencial de $ V = 12,5 , V $. Depois, retiramos a bateria e colocamos uma placa de porcelana com constante dielétrica $ \kappa = 6,5 $ entre as placas do capacitor. Precisamos descobrir a energia potencial armazenada no capacitor antes e depois de colocar a placa de porcelana.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia armazenada em um capacitor e como a presença de um dielétrico (como a porcelana) afeta essa energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial do capacitor antes de inserir a placa de porcelana. A fórmula para a energia armazenada em um capacitor é:
U = 12 C V^2
Onde:
  • $ U $ é a energia armazenada,
  • $ C $ é a capacitância,
  • $ V $ é a diferença de potencial.
Vamos usar os valores fornecidos:
U

Passo 3

Agora, vamos fazer as contas:
Ui = 12 times 13,5 times 10^-12 times 156,25 = 12 times 13,5 times 156,25 times 10^-12
Ui = 12 times 2110,9375 times 10^-12 = 1055,46875 times 10^-12 , J
Arredondando, temos:
Ui approx 1055 , pJ

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando inserimos a placa de porcelana entre as placas do capacitor. A presença de um dielétrico altera a capacitância do capacitor. A nova capacitância $ C’ $ com o dielétrico é dada por:
C'
Onde $ \kappa $ é a constante dielétrica.
Substituindo os valores:
C' = kappa times C
kappa

Passo 5

Como a bateria foi desconectada antes de inserir a placa de porcelana, a carga $ Q $ no capacitor permanece constante. Sabemos que:
Q
Como $ Q $ é constante, podemos usar isso para encontrar a nova diferença de potencial $ V’ $:
Q = C times V
Sabendo que inicialmente:
Q
Então,
V'

Passo 6

Agora, vamos calcular a nova energia armazenada com a capacitância aumentada e a nova diferença de potencial. Usamos novamente a fórmula da energia:
Uf = 12 C' V'^2
Substituindo os valores:
Uf = 12 times 87,75 times 10^-12 , F times (1,923 , V)^2

Passo 7

Fazendo as contas:
Uf = 12 times 87,75 times 10^-12 times 3,698 = 12 times 324,2775 times 10^-12 , J
Uf = 162,13875 times 10^-12 , J
Arredondando:
Uf approx 162 , pJ

Resposta

A energia potencial do capacitor antes de inserir a placa de porcelana é $ U_{i} = 1055 , pJ $ e após a inserção da placa de porcelana, a energia potencial é $ U_{f} = 162 , pJ $.

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